Quais séries convergem? E quais divergem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você tem pede para descobrir se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série em questão com outra série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. Temos . Aqui, é o logaritmo natural de , e é elevado à quarta potência. À medida que aumenta, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas precisamos ver qual cresce mais rápido para determinar o comportamento da série.

Passo 3

Para aplicar o Teste da Comparação, vamos comparar nossa série com uma série p, que tem a forma . Sabemos que a série p converge se e diverge se . No nosso caso, observamos que o denominador sugere uma série p com , que sabemos que converge.

Passo 4

Agora, precisamos garantir que os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos da série p para grandes valores de . Observando e comparando com , vemos que para suficientemente grande, já que cresce mais lentamente que qualquer potência de .

Passo 5

Como a série p converge e nossos termos são menores que os termos da série p para grande, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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Seja . Calcule , sendo u o versor de .
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(a)