Quais séries convergem? E quais divergem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você tem pede para descobrir se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série em questão com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os termos da série. Temos
. Aqui,
é o logaritmo natural de
, e
é
elevado à quarta potência. À medida que
aumenta, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas precisamos ver qual cresce mais rápido para determinar o comportamento da série.
Passo 3
Para aplicar o Teste da Comparação, vamos comparar nossa série com uma série p, que tem a forma
. Sabemos que a série p converge se
e diverge se
. No nosso caso, observamos que o denominador
sugere uma série p com
, que sabemos que converge.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos da série p para grandes valores de
. Observando
e comparando com
, vemos que
para
suficientemente grande, já que
cresce mais lentamente que qualquer potência de
.
Passo 5
Como a série p
converge e nossos termos
são menores que os termos da série p para
grande, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Seja
. Calcule
, sendo u o versor de
.
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(a)
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