Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso envolve entender como a função muda em relação a cada variável e . Vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, .
A função tem no expoente. Para derivar isso em relação a , tratamos como uma constante. A regra da derivada de em relação a é , então:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, .
Aqui, aparece dentro do exponencial de e também no coeficiente de . Usamos novamente a regra da cadeia:
Então,

Passo 4

Agora vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a , ou seja, .
Já sabemos que:
Derivando novamente em relação a :
Portanto,

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada mista .
Primeiro, temos:
Agora, derivando isso em relação a :
Simplificando,

Passo 6

Por último, vamos encontrar a segunda derivada em relação a , ou seja, .
Sabemos que:
Derivando novamente em relação a :
Assim,

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Sejam e dada por . Considere a função composta . Determine .
Use a regra da cadeia para determinar e , sendo dados:
(a)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(g)
Seja , com diferenciável. Encontre o vetor gradiante , admitindo e .