Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso envolve entender como a função muda em relação a cada variável
e
. Vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
.
A função
tem
no expoente. Para derivar isso em relação a
, tratamos
como uma constante. A regra da derivada de
em relação a
é
, então:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
aparece dentro do exponencial de
e também no coeficiente de
. Usamos novamente a regra da cadeia:
Então,
Passo 4
Agora vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a
, ou seja,
.
Já sabemos que:
Derivando novamente em relação a
:
Portanto,
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada mista
.
Primeiro, temos:
Agora, derivando isso em relação a
:
Simplificando,
Passo 6
Por último, vamos encontrar a segunda derivada em relação a
, ou seja,
.
Sabemos que:
Derivando novamente em relação a
:
Assim,
Resposta
As derivadas parciais da função
são: