Seja
, com
diferenciável. Encontre o vetor gradiante
, admitindo
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o vetor gradiente
da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função
é composta por
multiplicado por uma função
que depende de duas variáveis
e
, onde:
Nossa meta é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando as derivadas necessárias:
Passo 4
De forma semelhante, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Calculando as derivadas necessárias:
Passo 5
Agora, substituímos os valores fornecidos no problema. Sabemos que em
:
Substituindo esses valores nas derivadas parciais:
Resposta
O vetor gradiente é
.
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