Seja , com diferenciável. Encontre o vetor gradiante , admitindo e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o vetor gradiente da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função é composta por multiplicado por uma função que depende de duas variáveis e , onde:
Nossa meta é encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando as derivadas necessárias:

Passo 4

De forma semelhante, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Calculando as derivadas necessárias:

Passo 5

Agora, substituímos os valores fornecidos no problema. Sabemos que em :
Substituindo esses valores nas derivadas parciais:

Resposta

O vetor gradiente é .

Exercícios relacionados

Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(g)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
©
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(d)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(i)