Seja phi(x, y) = x * f(x^2 + y, 2*x - y), com f diferenciável. Encontre o vetor gradiante nabla phi(2,1), admitindo f(5,3) = 4 e nabla f(5,3) = (1,-1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o vetor gradiente nabla phi(2,1) da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função varphi(x, y) é composta por x multiplicado por uma função f que depende de duas variáveis u e v, onde:
Nossa meta é encontrar as derivadas parciais de phi em relação a x e y.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de phi em relação a x usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando as derivadas necessárias:

Passo 4

De forma semelhante, calculamos a derivada parcial de phi em relação a y:
Calculando as derivadas necessárias:

Passo 5

Agora, substituímos os valores fornecidos no problema. Sabemos que em (2,1):
Substituindo esses valores nas derivadas parciais:

Resposta

O vetor gradiente é .

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