Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(g)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso envolve entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, que chamamos de
. Como
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, temos:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
,
. Para isso, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando cada parte:
Passo 4
Vamos seguir para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, calculamos
, a segunda derivada parcial em relação a
:
Como
é constante em relação a
:
Passo 5
Em seguida, calculamos
, a derivada parcial segunda, primeira em
depois em
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Por último, vamos calcular
, a segunda derivada parcial em relação a
:
Derivando cada termo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
E as derivadas parciais de segunda ordem são:
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Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
©
©
Sejam
e
dada por
. Considere a função composta
. Determine
.
Seja
, com
diferenciável. Encontre o vetor gradiante
, admitindo
e
.
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(d)
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