Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso envolve entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , que chamamos de . Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , temos:
Aqui, é uma constante em relação a , então a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , . Para isso, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando cada parte:

Passo 4

Vamos seguir para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, calculamos , a segunda derivada parcial em relação a :
Como é constante em relação a :

Passo 5

Em seguida, calculamos , a derivada parcial segunda, primeira em depois em :
Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Por último, vamos calcular , a segunda derivada parcial em relação a :
Derivando cada termo:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
E as derivadas parciais de segunda ordem são:

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(d)