Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente estudando derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto, a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é .
Vamos aplicar a regra do produto:
Agora, derivamos cada parte:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é .
Derivando em relação a :
Então,

Passo 4

Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a .
Lembrando que:
Derivando cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Juntando tudo:
Podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista, . Isso significa derivar em relação a .
Lembrando que:
Derivando cada termo em relação a :
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então,

Passo 6

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a .
Lembrando que:
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:
  • Primeiras Derivadas:
  • Segundas Derivadas:

Exercícios relacionados

Seja , com diferenciável. Encontre o vetor gradiante , admitindo e .
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(g)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(i)
Use a regra da cadeia para determinar e , sendo dados:
(b)