Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente estudando derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto, a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função é
.
Vamos aplicar a regra do produto:
Agora, derivamos cada parte:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função é
.
Derivando em relação a
:
Então,
Passo 4
Vamos agora encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Juntando tudo:
Podemos simplificar:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista,
. Isso significa derivar
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando cada termo em relação a
:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então,
Passo 6
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
-
Primeiras Derivadas:
-
Segundas Derivadas:
Exercícios relacionados
Seja
, com
diferenciável. Encontre o vetor gradiante
, admitindo
e
.
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(g)
(g)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(i)
(i)
Use a regra da cadeia para determinar
e
, sendo dados:
(b)
(b)