Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função dada:
. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e regras de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, sua derivada é
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos derivar
. Sabemos que
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
. Como
é tratado como uma constante,
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia.
Passo 8
Derivamos
em relação a
:
E derivamos
em relação a
:
Passo 9
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 10
Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, calcularemos
. Para isso, derivamos a primeira derivada em relação a
.
Passo 11
Temos:
Vamos usar a regra do quociente:
onde
e
.
Passo 12
Calculando
e
:
Então:
Passo 13
Agora, vamos calcular
. Derivamos a primeira derivada em relação a
.
Passo 14
Temos:
Novamente, usamos a regra do quociente:
onde
e
.
Passo 15
Calculando
e
:
Então:
Passo 16
Por fim, vamos calcular a derivada mista
. Podemos derivar
em relação a
ou
em relação a
. Vamos derivar a primeira derivada em relação a
.
Passo 17
Temos:
Usamos a regra do quociente:
Então:
Resposta
Todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
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Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(d)
(d)
Seja
, com
diferenciável. Encontre o vetor gradiante
, admitindo
e
.
Use a regra da cadeia para determinar
e
, sendo dados:
(b)
(b)
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis e obtenha a solução explícita
do PVI: