Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função dada: . Vamos usar conceitos de derivadas parciais e regras de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , sua derivada é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos derivar . Sabemos que .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a . Como é tratado como uma constante, .

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia.

Passo 8

Derivamos em relação a :
E derivamos em relação a :

Passo 9

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 10

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, calcularemos . Para isso, derivamos a primeira derivada em relação a .

Passo 11

Temos:
Vamos usar a regra do quociente:
onde e .

Passo 12

Calculando e :
Então:

Passo 13

Agora, vamos calcular . Derivamos a primeira derivada em relação a .

Passo 14

Temos:
Novamente, usamos a regra do quociente:
onde e .

Passo 15

Calculando e :
é
Então:

Passo 16

Por fim, vamos calcular a derivada mista . Podemos derivar em relação a ou em relação a . Vamos derivar a primeira derivada em relação a .

Passo 17

Temos:
Usamos a regra do quociente:
Então:

Resposta

Todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados

Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(d)
Seja , com diferenciável. Encontre o vetor gradiante , admitindo e .
Use a regra da cadeia para determinar e , sendo dados:
(b)
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis e obtenha a solução explícita do PVI: