Use a regra da cadeia para determinar partial z / partial x e partial z / partial y, sendo dados:
(b) z=sen theta cos phi, theta=x y^2, phi=x^2 y

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais usando a regra da cadeia. Precisamos encontrar as derivadas parciais de z = sin theta cos phi, theta = x y^2, phi = x^2 y em relação a e , onde:
Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial x = partial zpartial theta cdot partial thetapartial x + partial zpartial phi cdot partial phipartial x em relação a , ou seja, . Pela regra da cadeia, temos:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 3

Calculando partial zpartial theta = cos theta cos phi e partial thetapartial x = y^2 :
partial zpartial phi = -sin theta sin phi
partial phipartial x = 2x y
Agora, calculando e :

Passo 4

Substituindo os valores encontrados na expressão da derivada:
partial zpartial x = (cos theta cos phi) cdot y^2 + (-sin theta sin phi) cdot 2x y
Simplificando:
partial zpartial x = y^2 cos theta cos phi - 2x y sin theta sin phi

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = partial zpartial theta cdot partial thetapartial y + partial zpartial phi cdot partial phipartial y em relação a partial thetapartial y = 2x y , ou seja, partial phipartial y = x^2 . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial y = (cos theta cos phi) cdot 2x y + (-sin theta sin phi) cdot x^2
Calculando cada termo:
partial zpartial y = 2x y cos theta cos phi - x^2 sin theta sin phi
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = y^2 cos theta cos phi - 2x y sin theta sin phi
partial zpartial y = 2x y cos theta cos phi - x^2 sin theta sin phi

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