Use a regra da cadeia para determinar
e
, sendo dados:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais usando a regra da cadeia. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, onde:
Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Pela regra da cadeia, temos:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 3
Calculando
e
:
Agora, calculando
e
:
Passo 4
Substituindo os valores encontrados na expressão da derivada:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando cada termo:
Substituindo na expressão da derivada:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(i)
(i)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(d)
(d)
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis e obtenha a solução explícita
do PVI:
Resolva as equações pelo método do fator integrante e obtenha as soluções explícitas:
.