Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos calcular todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde aprendemos como uma função muda em relação a cada uma de suas variáveis de forma isolada. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . A derivada parcial em relação a ( ) nos mostra como a função muda quando variamos enquanto mantemos constante, e vice-versa para .

Passo 3

Vamos encontrar , a derivada parcial de em relação a . Usaremos a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
  • em relação a é 1 (já que a derivada de é 1 e de é 0).
  • em relação a é (derivada de em relação a ).
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada parcial de em relação a . Novamente, usamos a regra do quociente.
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
  • em relação a é 1.
  • em relação a é .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem: , e .

Passo 6

Começamos com , que é a derivada de em relação a .
Sabemos que:
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 7

Agora, vamos para , que é a derivada de em relação a .
Sabemos que:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 8

Por fim, vamos calcular , que é a derivada de em relação a .
Sabemos que:
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:

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