Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos calcular todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde aprendemos como uma função muda em relação a cada uma de suas variáveis de forma isolada. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
. A derivada parcial em relação a
(
) nos mostra como a função muda quando variamos
enquanto mantemos
constante, e vice-versa para
.
Passo 3
Vamos encontrar
, a derivada parcial de
em relação a
. Usaremos a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
-
em relação a é 1 (já que a derivada de é 1 e de é 0). -
em relação a é (derivada de em relação a ).
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, usamos a regra do quociente.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
-
em relação a é 1. -
em relação a é .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
.
Passo 6
Começamos com
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Agora, vamos para
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 8
Por fim, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que:
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
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Dados
e
, seja
. Calcule
de duas formas: (i) explicitamente, por meio da regra que define
; (ii) via a regra da cadeia.