Quais séries convergem? E quais divergem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se a série converge ou diverge. Vamos usar o conteúdo de séries infinitas e, mais especificamente, o teste do termo geral e o teste da comparação, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Observando que, para muito grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador são e , respectivamente. Então, a expressão se comporta como quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste do termo geral, que diz que se o limite do termo geral da série não for zero, a série diverge. Vamos calcular:
Como o limite é zero, o teste do termo geral não nos dá uma resposta definitiva. Então, precisamos usar outro teste.

Passo 4

Vamos usar o teste da comparação. Sabemos que é uma série p onde , e como , essa série converge.
Agora, vamos comparar nossos termos com . Para :
E como para , então:
Como a série também converge, pelo teste da comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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(e)