Dados r(t) = (t, 2t + t^2) e f(x, y) = x * e^(x^2 * y), seja phi(t) = (f o r)(t). Calcule phi'(0) de duas formas: (i) explicitamente, por meio da regra que define varphi(t); (ii) via a regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas de funções compostas. A gente tem uma função vetorial e uma função escalar . A função composta é . Nosso objetivo é calcular a derivada de phi em t = 0, ou seja, phi'(0), de duas maneiras: primeiro, diferenciando diretamente a função composta, e segundo, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Método (i): Diferenciando diretamente a função composta
Primeiro, precisamos escrever varphi(t) substituindo r(t) em f(x, y):
Agora, simplificamos a expressão no expoente:
Então,

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de varphi(t) em relação a t. Vamos chamar . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que se u(t) e v(t) são funções de t, então:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Para , usamos a regra da cadeia. Se , então . Aqui, , então:
Portanto,
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Agora, avaliamos em t = 0:

Passo 4

Método (ii): Usando a regra da cadeia
Agora, vamos calcular phi'(0) usando a regra da cadeia para funções compostas. A função varphi(t) é uma composição de f(x, y) com r(t), então a regra da cadeia nos diz que:
Onde .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de :
Calculando :
Calculando :
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais em :
Também precisamos das derivadas de x(t) e y(t) em t = 0:

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo os valores:

Resposta

Portanto, em ambos os métodos.

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