Dados e , seja . Calcule de duas formas: (i) explicitamente, por meio da regra que define ; (ii) via a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas de funções compostas. A gente tem uma função vetorial e uma função escalar . A função composta é . Nosso objetivo é calcular a derivada de em , ou seja, , de duas maneiras: primeiro, diferenciando diretamente a função composta, e segundo, usando a regra da cadeia.
Passo 2
Método (i): Diferenciando diretamente a função composta
Primeiro, precisamos escrever substituindo em :
Agora, simplificamos a expressão no expoente:
Então,
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a . Vamos chamar . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que se e são funções de , então:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Para , usamos a regra da cadeia. Se , então . Aqui, , então:
Portanto,
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Agora, avaliamos em :
Passo 4
Método (ii): Usando a regra da cadeia
Agora, vamos calcular usando a regra da cadeia para funções compostas. A função é uma composição de com , então a regra da cadeia nos diz que:
Onde .
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de :
Calculando :
Calculando :
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais em :
Também precisamos das derivadas de x(t) e y(t) em t = 0: