Quais séries convergem? E quais divergem? sumn=1^infty(ln (1+1n^2))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série: . Para valores grandes de , fica bem pequeno. Sabemos que para pequeno, pode ser aproximado por .

Passo 3

Então, podemos aproximar:
ln(1+1n^2) approx 1n^2
Isso significa que os termos da nossa série são parecidos com os termos da série .

Passo 4

Sabemos que a série é uma série p, onde . Séries p com sempre convergem. Portanto, essa série específica converge.

Passo 5

Agora, para ter certeza que nossa série original também converge, podemos usar o Teste da Comparação. Como para todo , e converge, então nossa série também deve convergir.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados