Quais séries convergem? E quais divergem?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série:
. Para valores grandes de
,
fica bem pequeno. Sabemos que para
pequeno,
pode ser aproximado por
.
Passo 3
Então, podemos aproximar:
Isso significa que os termos da nossa série são parecidos com os termos da série
.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série p, onde
. Séries p com
sempre convergem. Portanto, essa série específica converge.
Passo 5
Agora, para ter certeza que nossa série original também converge, podemos usar o Teste da Comparação. Como
para todo
, e
converge, então nossa série também deve convergir.
Resposta
A série
converge.