Decida se a função é ou não diferenciável na origem. Justifique!
(b)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função
que é definida de duas formas: para qualquer ponto diferente da origem,
, e na origem,
. O conteúdo aqui envolve cálculo multivariável, especificamente a diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos verificar se a função é contínua na origem e se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua na origem. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
, que é 0.
Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Agora, ao calcular o limite quando
tende a 0:
Portanto, a função é contínua na origem.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
na origem.
Derivada parcial em relação a
:
Substituindo na função:
Então,
Derivada parcial em relação a
:
Substituindo na função:
Então,
Portanto, ambas as derivadas parciais em
são iguais a 0.
Passo 4
Para verificar a diferenciabilidade, precisamos confirmar que a função pode ser aproximada linearmente na origem. Isso significa que:
Como
e
, a expressão simplifica para:
Como o limite é 0, a função é diferenciável na origem.
Resposta
A função é diferenciável na origem.
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