Decida se a função é ou não diferenciável na origem. Justifique!
(b)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função que é definida de duas formas: para qualquer ponto diferente da origem, , e na origem, . O conteúdo aqui envolve cálculo multivariável, especificamente a diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos verificar se a função é contínua na origem e se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua na origem. Isso significa que o limite de quando se aproxima de deve ser igual a , que é 0.
Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Agora, ao calcular o limite quando tende a 0:
Portanto, a função é contínua na origem.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de na origem.
Derivada parcial em relação a :
Substituindo na função:
Então,
Derivada parcial em relação a :
Substituindo na função:
Então,
Portanto, ambas as derivadas parciais em são iguais a 0.

Passo 4

Para verificar a diferenciabilidade, precisamos confirmar que a função pode ser aproximada linearmente na origem. Isso significa que:
Como e , a expressão simplifica para:
Como o limite é 0, a função é diferenciável na origem.

Resposta

A função é diferenciável na origem.

Exercícios relacionados

Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(h)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(f)
Quais séries convergem? E quais divergem?