Decida se a função é ou não diferenciável na origem. Justifique!
(b) f(x, y)=cccx^2 y^2x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função que é definida de duas formas: para qualquer ponto diferente da origem, , e na origem, . O conteúdo aqui envolve cálculo multivariável, especificamente a diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos verificar se a função é contínua na origem e se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua na origem. Isso significa que o limite de f(r, theta) = (r^2 cos^2(theta)) (r^2 sin^2(theta))r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = r^4 cos^2(theta) sin^2(theta)r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^2 cos^2(theta) sin^2(theta) quando limr to 0 r^2 cos^2(theta) sin^2(theta) = 0 se aproxima de deve ser igual a , que é 0.
Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Agora, ao calcular o limite quando tende a 0:
Portanto, a função é contínua na origem.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de fx(0, 0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h na origem.
Derivada parcial em relação a f(h, 0) = h^2 cdot 0^2h^2 + 0^2 = 0 :
fx(0, 0) = limh to 0 0 - 0h = 0
Substituindo na função:
fy(0, 0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k
Então,
f(0, k) = 0^2 cdot k^20^2 + k^2 = 0
Derivada parcial em relação a fy(0, 0) = limk to 0 0 - 0k = 0 :
Substituindo na função:
Então,
Portanto, ambas as derivadas parciais em são iguais a 0.

Passo 4

Para verificar a diferenciabilidade, precisamos confirmar que a função pode ser aproximada linearmente na origem. Isso significa que:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) - f(0, 0) - fx(0, 0)x - fy(0, 0)yraizx^2 + y^2 = 0
Como lim(x, y) to (0, 0) f(x, y)raizx^2 + y^2 = limr to 0 r^2 cos^2(theta) sin^2(theta)r = limr to 0 r cos^2(theta) sin^2(theta) = 0 e , a expressão simplifica para:
Como o limite é 0, a função é diferenciável na origem.

Resposta

A função é diferenciável na origem.

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