Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis e obtenha a solução explícita do PVI:
Passo 1
Resumo do enunciado: Vamos resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisaremos separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Separando as variáveis: Queremos organizar a equação de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e as com do outro. Assim:
Passo 3
Integrando ambos os lados: Agora, vamos integrar os dois lados da equação. Primeiro, a integral em relação a :
Passo 4
Resolvendo a integral em : A expressão pode ser fatorada como . Para integrar , usamos frações parciais.
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores convenientes para :
Para :
Para :
Então,
Passo 5
Integrando usando frações parciais:
Do lado direito, a integral de é simplesmente:
Passo 6
Montando a equação geral:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é uma nova constante.
Passo 7
Isolando a fração com :
Onde é uma constante qualquer.
Passo 8
Resolvendo para :
Passo 9
Aplicando a condição inicial :
Substituindo e na equação:
Isso implica que , ou seja, .
Passo 10
Substituindo na solução geral:
Podemos simplificar essa expressão usando a função hiperbólica tangente: