Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis e obtenha a solução explícita do PVI:

Passo 1

Resumo do enunciado: Vamos resolver a equação diferencial usando o método de separação de variáveis. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, precisaremos separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Separando as variáveis: Queremos organizar a equação de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e as com do outro. Assim:

Passo 3

Integrando ambos os lados: Agora, vamos integrar os dois lados da equação. Primeiro, a integral em relação a :

Passo 4

Resolvendo a integral em : A expressão pode ser fatorada como . Para integrar , usamos frações parciais.
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo valores convenientes para :
  • Para :
  • Para :
Então,

Passo 5

Integrando usando frações parciais:
Do lado direito, a integral de é simplesmente:

Passo 6

Montando a equação geral:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Isolando a fração com :
Onde é uma constante qualquer.

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Aplicando a condição inicial :
Substituindo e na equação:
Isso implica que , ou seja, .

Passo 10

Substituindo na solução geral:
Podemos simplificar essa expressão usando a função hiperbólica tangente:

Resposta

A solução explícita do PVI é:

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para determinar e , sendo dados:
(b)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(i)
Resolva as equações pelo método do fator integrante e obtenha as soluções explícitas: .
Existe um número real que é exatamente uma unidade a mais do que o seu cubo? (Em caso de resposta afirmativa, forneça-o com três casas decimais de precisão.)