Quais séries convergem? E quais divergem?

Passo 1

E aí! Vamos resolver juntos essa questão sobre séries infinitas. O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série à medida que aumenta. Observamos que tende a zero quando vai para o infinito. Sabemos que para valores pequenos, . Então, podemos aproximar:

Passo 3

Com essa aproximação, o termo geral da série fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para verificar a convergência da série. O Teste da Raiz diz que para a série , se:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicando o Teste da Raiz ao nosso termo geral:
Usando a aproximação que fizemos anteriormente:

Passo 6

Como , pelo Teste da Raiz, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Decida se a função é ou não diferenciável na origem. Justifique!
(b)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(h)
Seja , com diferenciável. Calcule admitindo .