Quais séries convergem? E quais divergem?
Passo 1
E aí! Vamos resolver juntos essa questão sobre séries infinitas. O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série à medida que
aumenta. Observamos que
tende a zero quando
vai para o infinito. Sabemos que para valores pequenos,
. Então, podemos aproximar:
Passo 3
Com essa aproximação, o termo geral da série fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para verificar a convergência da série. O Teste da Raiz diz que para a série
, se:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 5
Aplicando o Teste da Raiz ao nosso termo geral:
Usando a aproximação que fizemos anteriormente:
Passo 6
Como
, pelo Teste da Raiz, concluímos que a série converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Decida se a função é ou não diferenciável na origem. Justifique!
(b)
(b)
Calcule todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
(h)
(h)
Seja
, com
diferenciável. Calcule
admitindo
.