Quais séries convergem? E quais divergem? sumn=1^infty(sin (1raizn))^n

Passo 1

E aí! Vamos resolver juntos essa questão sobre séries infinitas. O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série à medida que sin(1raizn) approx 1raizn aumenta. Observamos que tende a zero quando vai para o infinito. Sabemos que para valores pequenos, . Então, podemos aproximar:

Passo 3

Com essa aproximação, o termo geral da série fica:
(sin(1raizn))^n approx (1raizn)^n = n^-n2

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para verificar a convergência da série. O Teste da Raiz diz que para a série L = limn to infty raiz[n]|an| , se:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicando o Teste da Raiz ao nosso termo geral:
L = limn to infty raiz[n](sin(1raizn))^n = limn to infty sin(1raizn)
Usando a aproximação que fizemos anteriormente:
L approx limn to infty 1raizn = 0

Passo 6

Como , pelo Teste da Raiz, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge.

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