Calcule todas as derivadas de segunda ordem
f(x, y) = ln(x^2 + y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular todas as derivadas de segunda ordem da função . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função .
A derivada parcial de em relação a , denotada por , é calculada mantendo constante:
Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Novamente, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Com as derivadas de primeira ordem encontradas, vamos agora calcular as derivadas de segunda ordem. Isso inclui (segunda derivada em relação a ), e (derivadas mistas), e (segunda derivada em relação a ).
Primeiro, calculamos :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular :

Passo 6

Por último, vamos encontrar as derivadas mistas e . Vamos calcular :
Como as derivadas mistas são iguais ( ), temos:

Resposta

Todas as derivadas de segunda ordem da função são:

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