Calcule todas as derivadas de segunda ordem
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular todas as derivadas de segunda ordem da função
. Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é calculada mantendo
constante:
Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Novamente, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Com as derivadas de primeira ordem encontradas, vamos agora calcular as derivadas de segunda ordem. Isso inclui
(segunda derivada em relação a
),
e
(derivadas mistas), e
(segunda derivada em relação a
).
Primeiro, calculamos
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Passo 6
Por último, vamos encontrar as derivadas mistas
e
. Vamos calcular
:
Como as derivadas mistas são iguais (
), temos:
Resposta
Todas as derivadas de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique que
Calcule todas as derivadas de segunda ordem
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Calcule todas as derivadas de segunda ordem
Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
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