Seja . Verifique que

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função que depende de duas variáveis combinadas: e . O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas parciais e a verificação de uma relação entre elas. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois somá-las para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais clara:
onde

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia para isso:

Passo 4

Calculando as derivadas de e em relação a :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a usando a mesma regra da cadeia:

Passo 6

Calculando as derivadas de e em relação a :
Então,

Passo 7

Agora, vamos somar as duas derivadas parciais que calculamos:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Passo 9

Para que a soma das derivadas parciais seja zero, precisamos que:
O que implica que:

Resposta

Portanto, quando .

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;
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a)
b) 5
c)
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