Seja z=f(u-v, u+v). Verifique que
partial zpartial u+partial zpartial v=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função que depende de duas variáveis combinadas: e . O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas parciais e a verificação de uma relação entre elas. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois somá-las para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função z = f(a, b) de forma mais clara:
a = u - v
onde
b = u + v

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial u = partial fpartial a cdot partial apartial u + partial fpartial b cdot partial bpartial u em relação a . Usamos a regra da cadeia para isso:

Passo 4

Calculando as derivadas de partial apartial u = 1 e partial bpartial u = 1 em relação a partial zpartial u = partial fpartial a cdot 1 + partial fpartial b cdot 1 = partial fpartial a + partial fpartial b :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial v = partial fpartial a cdot partial apartial v + partial fpartial b cdot partial bpartial v em relação a usando a mesma regra da cadeia:

Passo 6

Calculando as derivadas de partial apartial v = -1 e partial bpartial v = 1 em relação a partial zpartial v = partial fpartial a cdot (-1) + partial fpartial b cdot 1 = -partial fpartial a + partial fpartial b :
Então,

Passo 7

Agora, vamos somar as duas derivadas parciais que calculamos:
partial zpartial u + partial zpartial v = ( partial fpartial a + partial fpartial b ) + ( -partial fpartial a + partial fpartial b )

Passo 8

Simplificando a expressão:
partial zpartial u + partial zpartial v = partial fpartial a + partial fpartial b - partial fpartial a + partial fpartial b = 2 partial fpartial b

Passo 9

Para que a soma das derivadas parciais seja zero, precisamos que:
2 partial fpartial b = 0
O que implica que:
partial fpartial b = 0

Resposta

Portanto, quando .

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