Seja
. Verifique que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que depende de duas variáveis combinadas:
e
. O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas parciais e a verificação de uma relação entre elas. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e depois somá-las para ver se o resultado é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de forma mais clara:
onde
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para isso:
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
usando a mesma regra da cadeia:
Passo 6
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Então,
Passo 7
Agora, vamos somar as duas derivadas parciais que calculamos:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Para que a soma das derivadas parciais seja zero, precisamos que:
O que implica que:
Resposta
Portanto,
quando
.
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;
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
a)
b) 5
c)
d)
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b) 5
c)
d)
Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;
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