Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;
Passo 1
Beleza, então vamos analisar os máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
. Isso envolve usar cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos que o único ponto crítico é
.
Passo 5
Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 6
Calculamos o discriminante
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Como
, isso indica que o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
A função
tem um único ponto crítico em
, que é um ponto de sela.