Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
f(x, y) = x^2 - y^2;

Passo 1

Beleza, então vamos analisar os máximos, mínimos locais e pontos de sela da função . Isso envolve usar cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos que o único ponto crítico é .

Passo 5

Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 6

Calculamos o discriminante usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Como , isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em , que é um ponto de sela.

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