Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;

Passo 1

Beleza, então vamos analisar os máximos, mínimos locais e pontos de sela da função . Isso envolve usar cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos que o único ponto crítico é .

Passo 5

Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 6

Calculamos o discriminante usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Como , isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em , que é um ponto de sela.

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Calcule todas as derivadas de segunda ordem
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Considere de uma mistura contendo de álcool (A) e de água (B) em fração molar. O processo de destilação diferencial é realizado até que o líquido contido no tanque contenha do composto mais volátil (em fração molar). A partir dos dados de equilibrio para a mistura etanol e água apresentados na tabela, calcule: (a) a quantidade de líquido que permanece no destilador ao final do processo, (b) a quantidade de destilado e © a concentração de destilado ao final do processo.
Equilibrium Data of the Ethanol-Water System
0.01 0.103 0.50 0.652
0.03 0.235 0.60 0.697
0.05 0.325 0.70 0.753
0.10 0.444 0.80 0.818
0.20 0.529 0.85 0.856
0.30 0.573 0.87 0.873
0.40 0.613 0.894 0.894