Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;
Passo 1
Beleza, então vamos analisar os máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
. Isso envolve usar cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos que o único ponto crítico é
.
Passo 5
Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 6
Calculamos o discriminante
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Como
, isso indica que o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
A função
tem um único ponto crítico em
, que é um ponto de sela.
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Calcule todas as derivadas de segunda ordem
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;
Estude os máximos e mínimos locais e pontos de sela para cada uma das funções abaixo:
;
Considere
de uma mistura contendo
de álcool (A) e
de água (B) em fração molar. O processo de destilação diferencial é realizado até que o líquido contido no tanque contenha
do composto mais volátil (em fração molar). A partir dos dados de equilibrio para a mistura etanol e água apresentados na tabela, calcule: (a) a quantidade de líquido que permanece no destilador ao final do processo, (b) a quantidade de destilado e © a concentração de destilado ao final do processo.
Equilibrium Data of the Ethanol-Water System
Equilibrium Data of the Ethanol-Water System
|
|
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0.01 | 0.103 | 0.50 | 0.652 |
0.03 | 0.235 | 0.60 | 0.697 |
0.05 | 0.325 | 0.70 | 0.753 |
0.10 | 0.444 | 0.80 | 0.818 |
0.20 | 0.529 | 0.85 | 0.856 |
0.30 | 0.573 | 0.87 | 0.873 |
0.40 | 0.613 | 0.894 | 0.894 |