Calcule todas as derivadas de segunda ordem
f(x, y) = e^(x^2 - y^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular todas as derivadas de segunda ordem da função . Estamos no assunto de Cálculo Diferencial, especificamente trabalhando com derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções exponenciais e lidar com derivadas parciais em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que denotamos por . Usamos a regra da cadeia para derivar em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar , a segunda derivada parcial em relação a :
Aqui, aplicamos a regra do produto para derivar e .

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , que é :

Passo 5

Agora, derivamos em relação a para obter , a segunda derivada parcial em relação a :
Também aqui usamos a regra do produto ao derivar e .

Passo 6

Por fim, vamos calcular as derivadas mistas, e . Vamos começar com , que é a derivada parcial de em relação a :
De forma similar, é a derivada parcial de em relação a :
Notamos que , o que está de acordo com o teorema de Schwarz.

Resposta

As derivadas de segunda ordem da função são:

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