Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular todas as derivadas de segunda ordem da função
. Estamos no assunto de Cálculo Diferencial, especificamente trabalhando com derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções exponenciais e lidar com derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que denotamos por
. Usamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
, a segunda derivada parcial em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra do produto para derivar
e
.
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para obter
, a segunda derivada parcial em relação a
:
Também aqui usamos a regra do produto ao derivar
e
.
Passo 6
Por fim, vamos calcular as derivadas mistas,
e
. Vamos começar com
, que é a derivada parcial de
em relação a
:
De forma similar,
é a derivada parcial de
em relação a
:
Notamos que
, o que está de acordo com o teorema de Schwarz.
Resposta
As derivadas de segunda ordem da função são: