Determine o conjunto de pontos onde a função
é diferenciável

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir em quais pontos a função é diferenciável. A matéria aqui envolve diferenciabilidade de funções de várias variáveis, e pra resolver isso, vamos precisar entender como verificar se uma função é diferenciável em seus pontos, especialmente no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função dada:
Temos que ver se essa função é diferenciável em todos os pontos do plano, especialmente em , porque para , a função é uma razão de polinômios onde o denominador nunca é zero, então está tudo bem e é diferenciável nesses pontos.

Passo 3

Agora, o foco é no ponto . Para uma função ser diferenciável nesse ponto, ela precisa ser contínua ali e ter derivadas parciais que existem e são contínuas em .
Primeiro, vamos verificar a continuidade em . A função será contínua se o limite de quando se aproxima de for igual a .

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Para verificar se esse limite existe e é igual a 1, podemos analisar diferentes caminhos de aproximação.
Por exemplo, se :
Já se :
Em ambos os casos, o limite é 0, que não é igual a 1. Isso significa que a função não é contínua em .

Passo 5

Como a função não é contínua em , ela não é diferenciável nesse ponto. Lembrando que a diferenciabilidade implica continuidade, então se não é contínua, já não pode ser diferenciável ali.

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos do plano, exceto no ponto .

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Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule sendo
a)
b) 5
c)
d)
Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;