Determine o conjunto de pontos onde a função
é diferenciável
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir em quais pontos a função
é diferenciável. A matéria aqui envolve diferenciabilidade de funções de várias variáveis, e pra resolver isso, vamos precisar entender como verificar se uma função é diferenciável em seus pontos, especialmente no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função dada:
Temos que ver se essa função é diferenciável em todos os pontos do plano, especialmente em
, porque para
, a função é uma razão de polinômios onde o denominador nunca é zero, então está tudo bem e é diferenciável nesses pontos.
Passo 3
Agora, o foco é no ponto
. Para uma função ser diferenciável nesse ponto, ela precisa ser contínua ali e ter derivadas parciais que existem e são contínuas em
.
Primeiro, vamos verificar a continuidade em
. A função será contínua se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Para verificar se esse limite existe e é igual a 1, podemos analisar diferentes caminhos de aproximação.
Por exemplo, se
:
Já se
:
Em ambos os casos, o limite é 0, que não é igual a 1. Isso significa que a função não é contínua em
.
Passo 5
Como a função não é contínua em
, ela não é diferenciável nesse ponto. Lembrando que a diferenciabilidade implica continuidade, então se não é contínua, já não pode ser diferenciável ali.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos do plano, exceto no ponto
.
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Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
a)
b) 5
c)
d)
a)
b) 5
c)
d)
Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;