Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
a)
b) 5
c)
d)
a)
b) 5
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o gradiente de uma função de três variáveis e calcular o gradiente de algumas funções específicas. Então, vamos precisar entender o que é gradiente e como aplicá-lo nas funções que você trouxe.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Matemáticamente, para uma função
, o gradiente é representado por
e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Isso significa que para encontrar o gradiente, precisamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente para cada função fornecida.
a)
Aqui, a função é uma soma simples das variáveis. Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
b)
Essa é uma função constante. As derivadas parciais de uma constante são zero:
Portanto, o gradiente é:
c)
Essa função representa a distância do ponto
à origem. Vamos calcular as derivadas:
Primeiro, reescrevemos a função como
.
Assim, o gradiente é:
d)
Essa função é um produto de
e a arctangente de
. Vamos aplicar a regra do produto para as derivadas.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:
Resposta
a)
b)
c)
d)
Exercícios relacionados
Determine o conjunto de pontos onde a função
é diferenciável
Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;
Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;
Seja
. Verifique que