Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule sendo
a)
b) 5
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para definir o gradiente de uma função de três variáveis e calcular o gradiente de algumas funções específicas. Então, vamos precisar entender o que é gradiente e como aplicá-lo nas funções que você trouxe.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Matemáticamente, para uma função , o gradiente é representado por e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Isso significa que para encontrar o gradiente, precisamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente para cada função fornecida.

a)

Aqui, a função é uma soma simples das variáveis. Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

b)

Essa é uma função constante. As derivadas parciais de uma constante são zero:
Portanto, o gradiente é:

c)

Essa função representa a distância do ponto à origem. Vamos calcular as derivadas:
Primeiro, reescrevemos a função como .
Assim, o gradiente é:

d)

Essa função é um produto de e a arctangente de . Vamos aplicar a regra do produto para as derivadas.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:

Resposta

a)
b)
c)
d)

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