Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular todas as derivadas de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e depois derivadas de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. A derivada parcial em relação a
significa que derivamos a função tratando
como uma constante.
Então,
Derivando em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é
(já que
é constante), a derivada de
é
e a derivada de
em relação a
é 0 porque não contém
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
.
Derivando
em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é
, a derivada de
em relação a
é 0 porque não contém
, e a derivada de
é
.
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos calcular as derivadas de segunda ordem.
Primeiro, a derivada de segunda ordem em relação a
, chamada
, é a derivada de
em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é 0 porque
é constante, e a derivada de
é
.
Passo 5
Em seguida, a derivada de segunda ordem em relação a
, chamada
, é a derivada de
em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é 0 porque
é constante, e a derivada de
é
.
Passo 6
Por último, vamos calcular as derivadas mistas de segunda ordem,
e
.
Primeiro,
é a derivada de
em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é 4, e a derivada de
em relação a
é 0.
Segundo,
é a derivada de
em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é 4, e a derivada de
em relação a
é 0.
Resposta
As derivadas de segunda ordem da função
são:
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. O que podemos dizer do valor de
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b) 5
c)
d)
a)
b) 5
c)
d)