Calcule todas as derivadas de segunda ordem
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular todas as derivadas de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo de derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e depois derivadas de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . A derivada parcial em relação a significa que derivamos a função tratando como uma constante.
Então,
Derivando em relação a :
Explicação: A derivada de em relação a é (já que é constante), a derivada de é e a derivada de em relação a é 0 porque não contém .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de .
Derivando em relação a :
Explicação: A derivada de em relação a é , a derivada de em relação a é 0 porque não contém , e a derivada de é .

Passo 4

Agora que temos e , vamos calcular as derivadas de segunda ordem.
Primeiro, a derivada de segunda ordem em relação a , chamada , é a derivada de em relação a :
Explicação: A derivada de em relação a é 0 porque é constante, e a derivada de é .

Passo 5

Em seguida, a derivada de segunda ordem em relação a , chamada , é a derivada de em relação a :
Explicação: A derivada de em relação a é 0 porque é constante, e a derivada de é .

Passo 6

Por último, vamos calcular as derivadas mistas de segunda ordem, e .
Primeiro, é a derivada de em relação a :
Explicação: A derivada de em relação a é 4, e a derivada de em relação a é 0.
Segundo, é a derivada de em relação a :
Explicação: A derivada de em relação a é 4, e a derivada de em relação a é 0.

Resposta

As derivadas de segunda ordem da função são:

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a)
b) 5
c)
d)