Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y z^2+x z^2x^2+y^2+z^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: lim (x, y, z) (0,0,0) x y + y z^2 + x z^2x^2 + y^2 + z^4 , e . O enunciado pede para descobrir o limite da função
quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender como os numerador e denominador se comportam perto de zero e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: . Cada termo aqui envolve produtos de , e , o que tende a zero quando se aproxima de .
Agora, o denominador é . Esse também é sempre positivo e tende a zero quando vai para .

Passo 3

Para descobrir o limite, precisamos ver como a taxa de aproximação do numerador em relação ao denominador se comporta. Vamos tentar simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
x yx^2 + y^2 + z^4 + y z^2x^2 + y^2 + z^4 + x z^2x^2 + y^2 + z^4

Passo 4

Vamos analisar cada fração individualmente:
  1. : Aqui, tanto quanto estão no numerador, que cresce de forma quadrática, enquanto o denominador também é quadrático. Isso sugere que esse termo pode ter um comportamento limitado.
  2. : O no numerador cresce mais rapidamente que o denominador em relação a , já que o denominador tem . Isso indica que esse termo tende a zero à medida que se aproxima de zero.
  3. : Similar ao termo anterior, o no numerador e o no denominador fazem com que esse termo também tenda a zero.

Passo 5

Vamos focar no primeiro termo |x y| <= x^2 + y^22 . Para garantir que o limite exista, precisamos que esse termo também tenda a zero. Podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para estimar esse termo:
| x yx^2 + y^2 + z^4 | <= x^2 + y^22x^2 + y^2 + z^4 <= 12
Substituindo na fração:
Isso mostra que o primeiro termo é limitado e tende a zero à medida que se aproxima de .

Passo 6

Somando os três termos, todos tendem a zero:
x yx^2 + y^2 + z^4 + y z^2x^2 + y^2 + z^4 + x z^2x^2 + y^2 + z^4 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

lim (x, y, z) (0,0,0) x y + y z^2 + x z^2x^2 + y^2 + z^4 = 0

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