Suponha que
. O que podemos dizer do valor de
? E se a função
for contínua?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre limites em funções de duas variáveis! A questão nos diz que o limite de
quando
se aproxima de
é 6. Precisamos descobrir o que isso nos diz sobre o valor de
e o que acontece se a função
for contínua. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo multivariável, especialmente sobre limites e continuidade.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que significa o limite de uma função:
nos diz que conforme
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Isso quer dizer que conforme
chega perto de
,
está se aproximando de 6.
Passo 4
Agora, o que isso nos diz sobre
? É importante saber que o limite de uma função em um ponto não necessariamente determina o valor da função nesse ponto. Ou seja,
pode ser igual a 6, diferente de 6 ou até mesmo não estar definida, dependendo da função.
Passo 5
Porém, se a função
for contínua no ponto
, então o limite de
quando
se aproxima de
será igual ao valor da função nesse ponto. A definição de continuidade estabelece que:
Resposta
Portanto:
-
Em geral, sabemos que
, mas o valor de pode ser igual a 6, diferente de 6 ou até mesmo não definido. -
Se a função
for contínua no ponto , então .
Exercícios relacionados
Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:
Verifique se a série converge utilizando o Teste da Comparação e Comparação no Limite (quando for o caso):
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Calcule todas as derivadas de segunda ordem
;