Suponha que lim (x, y) (3,1) f(x, y)=6. O que podemos dizer do valor de f(3,1) ? E se a função f for contínua?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre limites em funções de duas variáveis! A questão nos diz que o limite de quando se aproxima de é 6. Precisamos descobrir o que isso nos diz sobre o valor de e o que acontece se a função for contínua. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo multivariável, especialmente sobre limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que significa o limite de uma função: nos diz que conforme se aproxima de , os valores de se aproximam de .

Passo 3

No nosso caso, temos . Isso quer dizer que conforme chega perto de , está se aproximando de 6.

Passo 4

Agora, o que isso nos diz sobre ? É importante saber que o limite de uma função em um ponto não necessariamente determina o valor da função nesse ponto. Ou seja, pode ser igual a 6, diferente de 6 ou até mesmo não estar definida, dependendo da função.

Passo 5

Porém, se a função Se f é contínua em (a, b), então lim(x, y) (a, b) f(x, y) = f(a, b) for contínua no ponto , então o limite de quando se aproxima de será igual ao valor da função nesse ponto. A definição de continuidade estabelece que:
éíã

Resposta

Portanto:
  • Em geral, sabemos que , mas o valor de pode ser igual a 6, diferente de 6 ou até mesmo não definido.
  • Se a função for contínua no ponto , então .

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