Encontre a área da Região R no primeiro quadrante que se situa sob a curva e é limitado por esta curva e pelas retas .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da Região R no primeiro quadrante, que está abaixo da curva e limitada por essa curva, pela reta , pela reta e por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender graficamente onde essas curvas e retas se encontram. Precisamos encontrar os pontos de interseção entre e . Igualando as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, . Portanto, as duas curvas se cruzam no ponto .
Passo 3
Agora, vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
De a , a curva está acima da reta .
De a , a reta está acima da curva .
Passo 4
Vamos calcular a área da primeira parte, de a . A fórmula para a área entre duas curvas é:
Aqui, e . Então:
Passo 5
Vamos resolver a integral da primeira área:
Calculando cada parte:
Então:
No entanto, tende a menos infinito, mas a área aqui é limitada por e , então consideramos o limite:
Isso indica que a área primeira é infinita, o que não faz sentido físico nesse contexto. Portanto, devemos reconsiderar os limites de integração.
Passo 6
Na verdade, a reta não pode ser usada diretamente como limite de integração aqui, pois não está definida em . O correto é considerar a área de a , onde todas as fun��ões estão bem definidas.
Passo 7
Vamos recalcular a área considerando apenas de a .
Aqui, de a , a reta está acima da curva . Então, a área é: