Encontre a área da Região R no primeiro quadrante que se situa sob a curva
e é limitado por esta curva e pelas retas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da Região R no primeiro quadrante, que está abaixo da curva
e limitada por essa curva, pela reta
, pela reta
e por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender graficamente onde essas curvas e retas se encontram. Precisamos encontrar os pontos de interseção entre
e
. Igualando as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então,
. Portanto, as duas curvas se cruzam no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
- De
a , a curva está acima da reta . - De
a , a reta está acima da curva .
Passo 4
Vamos calcular a área da primeira parte, de
a
. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Aqui,
e
. Então:
Passo 5
Vamos resolver a integral da primeira área:
Calculando cada parte:
Então:
No entanto,
tende a menos infinito, mas a área aqui é limitada por
e
, então consideramos o limite:
Isso indica que a área primeira é infinita, o que não faz sentido físico nesse contexto. Portanto, devemos reconsiderar os limites de integração.
Passo 6
Na verdade, a reta
não pode ser usada diretamente como limite de integração aqui, pois
não está definida em
. O correto é considerar a área de
a
, onde todas as fun��ões estão bem definidas.
Passo 7
Vamos recalcular a área considerando apenas de
a
.
Aqui, de
a
, a reta
está acima da curva
. Então, a área é:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Calculando os valores:
Resposta
A área da Região R é
unidades de área.