Resolva a equação da onda
sujeita às condições indicadas.
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação da onda que você mandou! A gente vai trabalhar com a equação diferencial parcial apresentada:
Temos também as condições de contorno e iniciais:
  • Condições de contorno:
  • Condições iniciais: e
Para resolver isso, vamos usar o método da separação de variáveis, que é uma técnica poderosa para resolver esse tipo de equação. Vamos precisar entender como decompor a solução em funções que dependem apenas de e apenas de .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções: uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja:
Essa é a base da separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa forma na equação da onda para ver o que acontece.

Passo 3

Substituindo na equação da onda, temos:
Como depende só de e só de , as derivadas ficam:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação:
Aqui, é uma constante de separação. Isso significa que ambas as partes da equação são iguais a uma constante negativa, o que nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Vamos resolver a equação para :
As soluções dessa equação dependem do valor de . Para termos não triviais (soluções que não sejam zero em todo lugar), e respeitando as condições de contorno , escolhemos , onde é um número inteiro positivo.
Assim, as soluções para são:

Passo 6

Agora, resolvendo a equação para com :
As soluções dessa equação são funções trigonométricas:

Passo 7

Então, a solução geral para é uma soma das soluções para cada modo :
Agora, precisamos determinar os coeficientes e usando as condições iniciais.

Passo 8

Primeiro, aplicamos a condição inicial :
Para que essa igualdade seja válida para todo , cada coeficiente deve ser zero:

Passo 9

Agora, usamos a segunda condição inicial :
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Avaliado em :

Passo 10

Agora, temos uma série de Fourier para representar :
Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula dos coeficientes de uma série de Fourier do tipo seno:

Passo 11

Vamos calcular a integral:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais, resultando em:
Substituindo de volta em :

Passo 12

Portanto, a solução final fica:

Resposta

A solução da equação da onda dada pelas condições especificadas é:
Essa série representa a vibração da corda ao longo do tempo e do espaço, considerando as condições iniciais e de contorno fornecidas.

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