Beleza, vamos resolver essa equação da onda que você mandou! A gente vai trabalhar com a equação diferencial parcial apresentada:
Temos também as condições de contorno e iniciais:
Condições de contorno:
Condições iniciais: e
Para resolver isso, vamos usar o método da separação de variáveis, que é uma técnica poderosa para resolver esse tipo de equação. Vamos precisar entender como decompor a solução em funções que dependem apenas de e apenas de .
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções: uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja:
Essa é a base da separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa forma na equação da onda para ver o que acontece.
Passo 3
Substituindo na equação da onda, temos:
Como depende só de e só de , as derivadas ficam:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação:
Aqui, é uma constante de separação. Isso significa que ambas as partes da equação são iguais a uma constante negativa, o que nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
Para :
Para :
Passo 5
Vamos resolver a equação para :
As soluções dessa equação dependem do valor de . Para termos não triviais (soluções que não sejam zero em todo lugar), e respeitando as condições de contorno , escolhemos , onde é um número inteiro positivo.
Assim, as soluções para são:
Passo 6
Agora, resolvendo a equação para com :
As soluções dessa equação são funções trigonométricas:
Passo 7
Então, a solução geral para é uma soma das soluções para cada modo :
Agora, precisamos determinar os coeficientes e usando as condições iniciais.
Passo 8
Primeiro, aplicamos a condição inicial :
Para que essa igualdade seja válida para todo , cada coeficiente deve ser zero:
Passo 9
Agora, usamos a segunda condição inicial :
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Avaliado em :
Passo 10
Agora, temos uma série de Fourier para representar :
Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula dos coeficientes de uma série de Fourier do tipo seno:
Passo 11
Vamos calcular a integral:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais, resultando em:
Substituindo de volta em :
Passo 12
Portanto, a solução final fica:
Resposta
A solução da equação da onda dada pelas condições especificadas é:
Essa série representa a vibração da corda ao longo do tempo e do espaço, considerando as condições iniciais e de contorno fornecidas.