Beleza, vamos resolver essa equação da onda que você mandou! A gente vai trabalhar com a equação diferencial parcial apresentada:
a^2 partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < L, , t > 0
Temos também as condições de contorno e iniciais:
Condições de contorno:
Condições iniciais: e
Para resolver isso, vamos usar o método da separação de variáveis, que é uma técnica poderosa para resolver esse tipo de equação. Vamos precisar entender como decompor a solução em funções que dependem apenas de e apenas de .
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução u(x, t) = X(x) cdot T(t) pode ser escrita como o produto de duas funções: uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja:
Essa é a base da separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa forma na equação da onda para ver o que acontece.
Passo 3
Substituindo a^2 partial^2 (X cdot T)partial x^2 = partial^2 (X cdot T)partial t^2 na equação da onda, temos:
a^2 T(t) cdot X''(x) = X(x) cdot T''(t)
Como depende só de e só de , as derivadas ficam:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação:
X''(x)X(x) = T''(t)a^2 T(t) = -lambda
Aqui, X''(x) + lambda X(x) = 0 é uma constante de separação. Isso significa que ambas as partes da equação são iguais a uma constante negativa, o que nos leva a duas equações diferenciais ordinárias:
Para T''(t) + a^2 lambda T(t) = 0 :
Para :
Passo 5
Vamos resolver a equação para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
Xn(x) = sin( npi xL )
As soluções dessa equação dependem do valor de . Para termos não triviais (soluções que não sejam zero em todo lugar), e respeitando as condições de contorno , escolhemos , onde é um número inteiro positivo.
Assim, as soluções para são:
Passo 6
Agora, resolvendo a equação para T''(t) + a^2 ( npiL )^2 T(t) = 0 com Tn(t) = An cos( a n pi tL ) + Bn sin( a n pi tL ) :
As soluções dessa equação são funções trigonométricas:
Passo 7
Então, a solução geral para u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos( a n pi tL ) + Bn sin( a n pi tL ) ] sin( n pi xL ) é uma soma das soluções para cada modo :
Agora, precisamos determinar os coeficientes e usando as condições iniciais.
Passo 8
Primeiro, aplicamos a condição inicial u(x, 0) = sumn=1^infty An sin( n pi xL ) = 0 :
An = 0 forall n
Para que essa igualdade seja válida para todo , cada coeficiente deve ser zero:
Passo 9
Agora, usamos a segunda condição inicial partial upartial t = sumn=1^infty [ -An a n piL sin( a n pi tL ) + Bn a n piL cos( a n pi tL ) ] sin( n pi xL ) :
Primeiro, calculamos a derivada de partial upartial t|t=0 = sumn=1^infty Bn a n piL sin( n pi xL ) = x(L - x) em relação a :
Avaliado em :
Passo 10
Agora, temos uma série de Fourier para representar x(L - x) = sumn=1^infty Bn a n piL sin( n pi xL ) :
Bn = 2 a Ln pi integral0^L x(L - x) sin( n pi xL ) dx
Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula dos coeficientes de uma série de Fourier do tipo seno:
Passo 11
Vamos calcular a integral:
integral0^L x(L - x) sin( n pi xL ) dx
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais, resultando em:
integral0^L x(L - x) sin( n pi xL ) dx = 2 L^3n^3 pi^3 [ (-1)^n - 1 ]
Substituindo de volta em Bn = 2 a Ln pi cdot 2 L^3n^3 pi^3 [ (-1)^n - 1 ] = 4 a L^4n^4 pi^4 [ (-1)^n - 1 ] :
Passo 12
Portanto, a solução final u(x, t) = sumn=1^infty [ 4 a L^4n^4 pi^4 [ (-1)^n - 1 ] sin( a n pi tL ) ] sin( n pi xL ) fica:
Resposta
A solução da equação da onda dada pelas condições especificadas é:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 4 a L^4n^4 pi^4 ( (-1)^n - 1 ) sin( a n pi tL ) ] sin( n pi xL )
Essa série representa a vibração da corda ao longo do tempo e do espaço, considerando as condições iniciais e de contorno fornecidas.