Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular todas as raízes cúbicas de
e representá-las no plano complexo dentro de um círculo centrado na origem. Isso envolve matéria de números complexos e raízes de números reais. Para resolver, vamos precisar entender como expressar números complexos em forma polar e usar fórmulas de raízes de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o número
na forma polar. Um número complexo na forma polar é representado como
, onde
é o módulo (distância da origem) e
é o argumento (ângulo com o eixo real positivo).
Sabemos que
está no eixo real negativo, então:
- Módulo
- Argumento
radianos (ou 180 graus)
Portanto,
pode ser escrito como:
Passo 3
Agora, para encontrar as raízes cúbicas de
, usamos a fórmula das raízes de números complexos. Se temos um número na forma
, suas
raízes
-ésimas são dadas por:
No nosso caso,
,
, e
. Vamos calcular cada uma das 3 raízes correspondentes a
.
Passo 4
Vamos calcular cada raiz:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos todas as raízes, vamos representá-las no plano complexo. No círculo centrado na origem com raio
(já que todas as raízes têm módulo
), plotamos os pontos:
-
(corresponde a um ângulo de ) -
(corresponde a um ângulo de ) -
(corresponde a um ângulo de )
Esses três pontos estarão igualmente espaçados no círculo, formando um triângulo equilátero.
Resposta
As três raízes cúbicas de
são:
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Seja
. Expresse as quantidades abaixo em termos de
e
.
Identifique a região
do plano complexo cujos pontos satisfazem as inequações abaixo:
Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.
Responda verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique.
( ) Todo subconjunto de um conjunto é
?
( ) Todo subconjunto de um conjunto