Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.
(-8)^(1/3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular todas as raízes cúbicas de e representá-las no plano complexo dentro de um círculo centrado na origem. Isso envolve matéria de números complexos e raízes de números reais. Para resolver, vamos precisar entender como expressar números complexos em forma polar e usar fórmulas de raízes de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número na forma polar. Um número complexo na forma polar é representado como , onde r é o módulo (distância da origem) e theta é o argumento (ângulo com o eixo real positivo).
Sabemos que está no eixo real negativo, então:
  • Módulo
  • Argumento radianos (ou 180 graus)
Portanto, pode ser escrito como:

Passo 3

Agora, para encontrar as raízes cúbicas de , usamos a fórmula das raízes de números complexos. Se temos um número na forma , suas n raízes k-ésimas são dadas por:
No nosso caso, , , e . Vamos calcular cada uma das 3 raízes correspondentes a .

Passo 4

Vamos calcular cada raiz:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora que temos todas as raízes, vamos representá-las no plano complexo. No círculo centrado na origem com raio (já que todas as raízes têm módulo ), plotamos os pontos:
  • (corresponde a um ângulo de pi / 3)
  • -2 (corresponde a um ângulo de pi)
  • (corresponde a um ângulo de )
Esses três pontos estarão igualmente espaçados no círculo, formando um triângulo equilátero.

Resposta

As três raízes cúbicas de são:

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