Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular todas as raízes quadradas da expressão e representar essas raízes no plano complexo dentro de um círculo centrado na origem. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e formas polares.

Passo 2

Vamos começar lembrando que é a unidade imaginária, onde . Para encontrar suas raízes quadradas, é útil representar na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
onde é o módulo (ou magnitude) e é o argumento (ou ângulo).

Passo 3

Identificamos o módulo e o argumento de . Sabemos que:
Então, o módulo é:
E o argumento é:
Assim, podemos escrever na forma polar:

Passo 4

Para encontrar a raiz quadrada de , usamos a fórmula para as raízes -ésimas de um número complexo:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Calculando para e :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As duas raízes quadradas de são:
No plano complexo, essas raízes estão localizadas em pontos sobre o círculo unitário com ângulos de e radianos em relação à origem.

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Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.
Seja . Expresse as quantidades abaixo em termos de e .
Responda verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique.
( ) Todo subconjunto de um conjunto é ?
Escreva o polinômio de Taylor da função no ponto .