Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular todas as raízes quadradas da expressão
e representar essas raízes no plano complexo dentro de um círculo centrado na origem. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e formas polares.
Passo 2
Vamos começar lembrando que
é a unidade imaginária, onde
. Para encontrar suas raízes quadradas, é útil representar
na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
onde
é o módulo (ou magnitude) e
é o argumento (ou ângulo).
Passo 3
Identificamos o módulo e o argumento de
. Sabemos que:
Então, o módulo
é:
E o argumento
é:
Assim, podemos escrever
na forma polar:
Passo 4
Para encontrar a raiz quadrada de
, usamos a fórmula para as raízes
-ésimas de um número complexo:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Calculando para
e
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As duas raízes quadradas de
são:
No plano complexo, essas raízes estão localizadas em pontos sobre o círculo unitário com ângulos de
e
radianos em relação à origem.
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Seja
. Expresse as quantidades abaixo em termos de
e
.
Responda verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique.
( ) Todo subconjunto de um conjunto é
?
( ) Todo subconjunto de um conjunto
Escreva o polinômio de Taylor da função
no ponto
.