Identifique a região
do plano complexo cujos pontos satisfazem as inequações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a região
no plano complexo onde os pontos
satisfazem a inequação
. Aqui, estamos lidando com números complexos e inequações envolvendo módulos. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar números complexos no plano e como resolver inequações envolvendo distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser representado como
, onde
e
são números reais que correspondem às coordenadas no plano complexo.
Passo 3
Agora, vamos interpretar o módulo
. O módulo de um número complexo representa a sua distância até a origem no plano complexo. Então,
é a distância de
até o ponto
, e
é a distância de
até o ponto
(que no plano corresponde ao ponto
).
Passo 4
Vamos substituir
na inequação:
Passo 5
Calculando os módulos:
Passo 6
Para resolver essa inequação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado (já que os módulos são sempre positivos):
Passo 7
Simplificando a inequação:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A região
é o semiplano composto por todos os pontos
no plano complexo onde
é menor ou igual a 2. Ou seja,
Exercícios relacionados
Encontre a área da região limitada pelas curvas
e
.
Seja
. Expresse as quantidades abaixo em termos de
e
.
Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.