Identifique a região do plano complexo cujos pontos satisfazem as inequações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar a região no plano complexo onde os pontos satisfazem a inequação . Aqui, estamos lidando com números complexos e inequações envolvendo módulos. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar números complexos no plano e como resolver inequações envolvendo distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado como , onde e são números reais que correspondem às coordenadas no plano complexo.

Passo 3

Agora, vamos interpretar o módulo . O módulo de um número complexo representa a sua distância até a origem no plano complexo. Então, é a distância de até o ponto , e é a distância de até o ponto (que no plano corresponde ao ponto ).

Passo 4

Vamos substituir na inequação:

Passo 5

Calculando os módulos:

Passo 6

Para resolver essa inequação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado (já que os módulos são sempre positivos):

Passo 7

Simplificando a inequação:

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

A região é o semiplano composto por todos os pontos no plano complexo onde é menor ou igual a 2. Ou seja,

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Seja . Expresse as quantidades abaixo em termos de e .
Calcule todas as raízes das expressões abaixo. Represente as raízes calculadas no plano complexo sob um círculo centrado na origem.