Escreva o polinômio de Taylor da função no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever o polinômio de Taylor da função no ponto . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o uso de derivadas para aproximar funções por polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma forma de aproximar uma função por um polinômio em torno de um ponto . A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas da função até a ordem 4 (já que nosso polinômio é de grau 4) no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando a função e suas derivadas no ponto .
A função original é:
Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor de cada uma dessas funções no ponto :
Função original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:

Passo 5

Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de grau 4:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Taylor da função no ponto é:

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