Escreva o polinômio de Taylor da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever o polinômio de Taylor da função
no ponto
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o uso de derivadas para aproximar funções por polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma forma de aproximar uma função
por um polinômio em torno de um ponto
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas da função até a ordem 4 (já que nosso polinômio é de grau 4) no ponto
.
Passo 3
Vamos começar calculando a função e suas derivadas no ponto
.
A função original é:
Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor de cada uma dessas funções no ponto
:
Função original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 5
Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de grau 4:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor da função
no ponto
é: