Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal: (1+i)^(1-i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular todas as potências complexas de (1+i)^(1-i) e identificar o valor principal. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, forma polar e logaritmos complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o número complexo 1+i na forma polar. Um número complexo na forma pode ser escrito como , onde:
  • r é o módulo, dado por .
  • theta é o argumento, calculado por .
No nosso caso, e , então:
E:
Portanto, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos calcular (1+i)^(1-i). Para potências complexas, usamos a fórmula:
Onde é o logaritmo complexo de z. Sabemos que o logaritmo de um número complexo é multi-valorado, isto é:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Substituindo na fórmula da potência:
Vamos distribuir o termo :
Lembrando que :

Passo 5

Separando as partes real e imaginária no expoente:
Simplificando a parte real:
Então temos:

Passo 6

Portanto, todas as potências complexas de (1+i)^(1-i) são dadas por:

Passo 7

O valor principal é obtido quando . Assim, substituindo :

Resposta

O valor principal de (1+i)^(1-i) é:

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