Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular todas as potências complexas de
e identificar o valor principal. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, forma polar e logaritmos complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o número complexo
na forma polar. Um número complexo na forma
pode ser escrito como
, onde:
-
é o módulo, dado por . -
é o argumento, calculado por .
No nosso caso,
e
, então:
E:
Portanto, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Para potências complexas, usamos a fórmula:
Onde
é o logaritmo complexo de
. Sabemos que o logaritmo de um número complexo é multi-valorado, isto é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Substituindo na fórmula da potência:
Vamos distribuir o termo
:
Lembrando que
:
Passo 5
Separando as partes real e imaginária no expoente:
Simplificando a parte real:
Então temos:
Passo 6
Portanto, todas as potências complexas de
são dadas por:
Passo 7
O valor principal é obtido quando
. Assim, substituindo
:
Resposta
O valor principal de
é:
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:
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Calcule todas as soluções que satisfazem a expressão abaixo:
Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto: