Calcule todos os ideais maximais em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular todos os ideais maximais nos anéis
,
,
e, de forma geral, em
.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com álgebra abstrata, mais especificamente com anéis e ideais.
O que vamos precisar:
- Entender o que são ideais maximais em um anel.
- Saber como identificar os ideais em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal maximal. Em termos simples, um ideal maximal em um anel é um ideal que é o maior possível sem ser o próprio anel. Ou seja, se você tentar adicionar qualquer elemento que não está no ideal, você acaba gerando todo o anel.
Passo 3
No caso específico de
, os ideais são todos os conjuntos que contêm múltiplos de alguns divisores de
. Mais precisamente, cada ideal em
é gerado por um divisor de
.
Os ideais maximais são aqueles que são gerados por números primos divisores de
. Isso porque os números primos são os “blocos de construção” básicos na aritmética.
Passo 4
Vamos aplicar isso em cada caso:
a)
- Divisores de 8: 1, 2, 4, 8
- Primos divisores de 8: Apenas 2
Então, o ideal maximal em
é
, que contém os elementos
.
b)
- Divisores de 10: 1, 2, 5, 10
- Primos divisores de 10: 2 e 5
Portanto, os ideais maximais em
são
(
) e
(
).
c)
- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Primos divisores de 12: 2 e 3
Assim, os ideais maximais em
são
(
) e
(
).
d)
De forma geral, para qualquer
, os ideais maximais em
são gerados pelos números primos divisores de
. Ou seja, se
é um número primo que divide
, então o ideal maximal correspondente é
.
Resposta
Os ideais maximais são:
- Em
: - Em
: e - Em
: e - Em
: para cada número primo que divide
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está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(b)
(b)
Considere
um conjunto gerador de um espaço vetorial
.
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Se adicionarmos outro vetor
Seja
um anel com 1. Se
é um ideal de
e
um elemento inversível de
tal que
, prove que
.