Calcule todos os ideais maximais em e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular todos os ideais maximais nos anéis , , e, de forma geral, em .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com álgebra abstrata, mais especificamente com anéis e ideais.
O que vamos precisar:
  • Entender o que são ideais maximais em um anel.
  • Saber como identificar os ideais em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal maximal. Em termos simples, um ideal maximal em um anel é um ideal que é o maior possível sem ser o próprio anel. Ou seja, se você tentar adicionar qualquer elemento que não está no ideal, você acaba gerando todo o anel.

Passo 3

No caso específico de , os ideais são todos os conjuntos que contêm múltiplos de alguns divisores de . Mais precisamente, cada ideal em é gerado por um divisor de .
Os ideais maximais são aqueles que são gerados por números primos divisores de . Isso porque os números primos são os “blocos de construção” básicos na aritmética.

Passo 4

Vamos aplicar isso em cada caso:

a)

  • Divisores de 8: 1, 2, 4, 8
  • Primos divisores de 8: Apenas 2
Então, o ideal maximal em é , que contém os elementos .

b)

  • Divisores de 10: 1, 2, 5, 10
  • Primos divisores de 10: 2 e 5
Portanto, os ideais maximais em são ( ) e ( ).

c)

  • Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
  • Primos divisores de 12: 2 e 3
Assim, os ideais maximais em são ( ) e ( ).

d)

De forma geral, para qualquer , os ideais maximais em são gerados pelos números primos divisores de . Ou seja, se é um número primo que divide , então o ideal maximal correspondente é .

Resposta

Os ideais maximais são:
  • Em :
  • Em : e
  • Em : e
  • Em : para cada número primo que divide

Exercícios relacionados

Todo divisor de zero à esquerda é também divisor de zero à direita?
Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(b)
Considere um conjunto gerador de um espaço vetorial .
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Seja um anel com 1. Se é um ideal de e um elemento inversível de tal que , prove que .