Calcule todos os ideais maximais em Z8, Z10, Z12 e Zn.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular todos os ideais maximais nos anéis Z8, Z10, Z12 e, de forma geral, em Zn.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com álgebra abstrata, mais especificamente com anéis e ideais.
O que vamos precisar:
  • Entender o que são ideais maximais em um anel.
  • Saber como identificar os ideais em Zn.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal maximal. Em termos simples, um ideal maximal em um anel é um ideal que é o maior possível sem ser o próprio anel. Ou seja, se você tentar adicionar qualquer elemento que não está no ideal, você acaba gerando todo o anel.

Passo 3

No caso específico de Zn, os ideais são todos os conjuntos que contêm múltiplos de alguns divisores de n. Mais precisamente, cada ideal em Zn é gerado por um divisor de n.
Os ideais maximais são aqueles que são gerados por números primos divisores de n. Isso porque os números primos são os “blocos de construção” básicos na aritmética.

Passo 4

Vamos aplicar isso em cada caso:

a) Z8

  • Divisores de 8: 1, 2, 4, 8
  • Primos divisores de 8: Apenas 2
Então, o ideal maximal em Z8 é 2Z8, que contém os elementos 0, 2, 4, 6.

b) Z10

  • Divisores de 10: 1, 2, 5, 10
  • Primos divisores de 10: 2 e 5
Portanto, os ideais maximais em Z10 são 2Z10 ( 0, 2, 4, 6, 8) e 5Z10 ( 0, 5).

c) Z12

  • Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
  • Primos divisores de 12: 2 e 3
Assim, os ideais maximais em Z12 são 2Z12 ( 0, 2, 4, 6, 8, 10) e 3Z12 ( 0, 3, 6, 9).

d) Zn

De forma geral, para qualquer n, os ideais maximais em Zn são gerados pelos números primos divisores de n. Ou seja, se p é um número primo que divide n, então o ideal maximal correspondente é pZn.

Resposta

Os ideais maximais são:
  • Em Z8: 2Z8
  • Em Z10: 2Z10 e 5Z10
  • Em Z12: 2Z12 e 3Z12
  • Em Zn: pZn para cada número primo p que divide n

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