Todo divisor de zero à esquerda é também divisor de zero à direita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se todo divisor de zero à esquerda também é um divisor de zero à direita. Isso cai no estudo de teoria dos anéis, uma parte da álgebra abstrata. Para resolver, vamos precisar entender o que são divisores de zero em anéis, tanto à esquerda quanto à direita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um divisor de zero. Num anel
, um elemento
é chamado de divisor de zero à esquerda se existe um elemento não nulo
em
tal que
. Analogamente,
é um divisor de zero à direita se existe um elemento não nulo
em
tal que
.
Passo 3
A pergunta quer saber se todo
que satisfaz
(esquerda) também satisfaz
(direita). Para responder isso, precisamos considerar se essa propriedade é geral em todos os tipos de anéis ou se depende de alguma condição específica do anel.
Passo 4
Em anéis commutativos, onde a ordem da multiplicação não altera o resultado (isto é,
para todos
no anel), todo divisor de zero à esquerda é automaticamente um divisor de zero à direita, porque
implica
.
Passo 5
No entanto, em anéis não commutativos, onde a ordem da multiplicação pode importar, essa equivalência não necessariamente existe. Ou seja, é possível ter um elemento que é divisor de zero à esquerda sem ser divisor de zero à direita. Isso ocorre porque
não garante que
.
Passo 6
Portanto, a resposta depende do tipo de anel que estamos considerando. Mas, de forma geral e sem assumir que o anel é commutativo, não podemos afirmar que todo divisor de zero à esquerda é também divisor de zero à direita.
Resposta
Não, nem todo divisor de zero à esquerda é também divisor de zero à direita.
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Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(b)
(b)
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
:
Calcule todos os ideais maximais em
e
.
Considere
um conjunto gerador de um espaço vetorial
.
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Se adicionarmos outro vetor