Todo divisor de zero à esquerda é também divisor de zero à direita?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se todo divisor de zero à esquerda também é um divisor de zero à direita. Isso cai no estudo de teoria dos anéis, uma parte da álgebra abstrata. Para resolver, vamos precisar entender o que são divisores de zero em anéis, tanto à esquerda quanto à direita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um divisor de zero. Num anel , um elemento é chamado de divisor de zero à esquerda se existe um elemento não nulo em tal que . Analogamente, é um divisor de zero à direita se existe um elemento não nulo em tal que .

Passo 3

A pergunta quer saber se todo que satisfaz (esquerda) também satisfaz (direita). Para responder isso, precisamos considerar se essa propriedade é geral em todos os tipos de anéis ou se depende de alguma condição específica do anel.

Passo 4

Em anéis commutativos, onde a ordem da multiplicação não altera o resultado (isto é, para todos no anel), todo divisor de zero à esquerda é automaticamente um divisor de zero à direita, porque implica .

Passo 5

No entanto, em anéis não commutativos, onde a ordem da multiplicação pode importar, essa equivalência não necessariamente existe. Ou seja, é possível ter um elemento que é divisor de zero à esquerda sem ser divisor de zero à direita. Isso ocorre porque não garante que .

Passo 6

Portanto, a resposta depende do tipo de anel que estamos considerando. Mas, de forma geral e sem assumir que o anel é commutativo, não podemos afirmar que todo divisor de zero à esquerda é também divisor de zero à direita.

Resposta

Não, nem todo divisor de zero à esquerda é também divisor de zero à direita.

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(b)
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