Considere um conjunto gerador de um espaço vetorial .
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores que gera um espaço vetorial . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. A pergunta é: se adicionarmos mais um vetor, , a esse conjunto, ele ainda será um conjunto gerador de ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como adicionar vetores a ele afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser gerador de um espaço vetorial. Um conjunto de vetores gera o espaço se qualquer vetor no espaço pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, para qualquer vetor em , existem escalares tais que:

Passo 3

Agora, se adicionarmos um novo vetor ao conjunto, teremos:
Queremos saber se esse novo conjunto ainda pode gerar todo o espaço .

Passo 4

Adicionar um vetor a um conjunto gerador pode ter dois efeitos:
  1. Redundância: Se o novo vetor já puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores já existentes, então esse vetor é redundante, mas o conjunto continua gerando o mesmo espaço.
  2. Expansão: Se o novo vetor não puder ser escrito como combinação linear dos vetores existentes, o conjunto agora pode gerar um espaço maior. Porém, como já sabemos que o conjunto original gera , isso não acontece aqui.

Passo 5

No nosso caso, como o conjunto original já gera todo o espaço , adicionar , seja ele dependente ou independente, não aumenta o espaço gerado além de . Se for dependente, ele é redundante e o conjunto continua gerando . Se for independente, ainda assim, o espaço gerado não muda, pois já está totalmente gerado pelo conjunto original.

Resposta

Sim, ao adicionar o vetor ao conjunto gerador , continuamos tendo um conjunto gerador de . Isso ocorre porque o conjunto original já gera todo o espaço, e a adição de um vetor não diminui essa capacidade.

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