Considere
um conjunto gerador de um espaço vetorial
.
Se adicionarmos outro vetor
ao conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Se adicionarmos outro vetor
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
que gera um espaço vetorial
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. A pergunta é: se adicionarmos mais um vetor,
, a esse conjunto, ele ainda será um conjunto gerador de
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como adicionar vetores a ele afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser gerador de um espaço vetorial. Um conjunto de vetores gera o espaço se qualquer vetor no espaço pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, para qualquer vetor
em
, existem escalares
tais que:
Passo 3
Agora, se adicionarmos um novo vetor
ao conjunto, teremos:
Queremos saber se esse novo conjunto ainda pode gerar todo o espaço
.
Passo 4
Adicionar um vetor a um conjunto gerador pode ter dois efeitos:
- Redundância: Se o novo vetor
já puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores já existentes, então esse vetor é redundante, mas o conjunto continua gerando o mesmo espaço. - Expansão: Se o novo vetor não puder ser escrito como combinação linear dos vetores existentes, o conjunto agora pode gerar um espaço maior. Porém, como já sabemos que o conjunto original gera
, isso não acontece aqui.
Passo 5
No nosso caso, como o conjunto original
já gera todo o espaço
, adicionar
, seja ele dependente ou independente, não aumenta o espaço gerado além de
. Se
for dependente, ele é redundante e o conjunto continua gerando
. Se for independente, ainda assim, o espaço gerado não muda, pois
já está totalmente gerado pelo conjunto original.
Resposta
Sim, ao adicionar o vetor
ao conjunto gerador
, continuamos tendo um conjunto gerador de
. Isso ocorre porque o conjunto original já gera todo o espaço, e a adição de um vetor não diminui essa capacidade.
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e
.
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tal que
, prove que
.
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Mostre que e
formam uma base para
.
Mostre que