Considere v1, v2, v3, ldots, vn um conjunto gerador de um espaço vetorial V.
Se adicionarmos outro vetor vk+1 ao conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores v1, v2, v3, ldots, vn que gera um espaço vetorial V. Isso significa que qualquer vetor em V pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. A pergunta é: se adicionarmos mais um vetor, vk+1, a esse conjunto, ele ainda será um conjunto gerador de V? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto gerador e como adicionar vetores a ele afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser gerador de um espaço vetorial. Um conjunto de vetores gera o espaço se qualquer vetor no espaço pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, para qualquer vetor w em V, existem escalares a1, a2, ldots, an tais que:
w = a1v1 + a2v2 + ldots + anvn

Passo 3

Agora, se adicionarmos um novo vetor vk+1 ao conjunto, teremos:
v1, v2, ldots, vn, vk+1
Queremos saber se esse novo conjunto ainda pode gerar todo o espaço V.

Passo 4

Adicionar um vetor a um conjunto gerador pode ter dois efeitos:
  1. Redundância: Se o novo vetor vk+1 já puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores já existentes, então esse vetor é redundante, mas o conjunto continua gerando o mesmo espaço.
  2. Expansão: Se o novo vetor não puder ser escrito como combinação linear dos vetores existentes, o conjunto agora pode gerar um espaço maior. Porém, como já sabemos que o conjunto original gera V, isso não acontece aqui.

Passo 5

No nosso caso, como o conjunto original v1, v2, ldots, vn já gera todo o espaço V, adicionar vk+1, seja ele dependente ou independente, não aumenta o espaço gerado além de V. Se vk+1 for dependente, ele é redundante e o conjunto continua gerando V. Se for independente, ainda assim, o espaço gerado não muda, pois V já está totalmente gerado pelo conjunto original.

Resposta

Sim, ao adicionar o vetor vk+1 ao conjunto gerador v1, v2, ldots, vn, continuamos tendo um conjunto gerador de V. Isso ocorre porque o conjunto original já gera todo o espaço, e a adição de um vetor não diminui essa capacidade.

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