Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(b)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um vetor que está representado na base . A base é formada pelos vetores e queremos reescrevê-lo na base .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de mudança de base e combinação linear. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que está na base . Isso quer dizer que pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja:
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar esses coeficientes. Substituindo os valores de e de :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, reorganizamos as equações:
Subtraindo (1) de (2):
Substituindo em (2):
Substituindo em (4):
Agora, temos:
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos (6) por 2:
Subtraindo (7) de (8):
Substituindo em (6):
Finalmente, substituindo em (1):

Passo 5

Agora que temos os coeficientes , , , e , podemos expressar na base :

Passo 6

Agora, para reescrever na base , precisamos expressar os vetores de em termos de . Isso envolve encontrar uma matriz de transição que converta coordenadas de para .
Vamos montar a matriz de transição onde cada coluna é um vetor de expresso na base .
Ou seja, resolvemos para cada :
Resolvendo isso para todos os , obtemos a matriz .

Passo 7

Depois de encontrar a matriz de transição , multiplicamos os coeficientes pela matriz para obter os novos coeficientes na base :
Isso nos dará os valores finais dos coeficientes na base .

Resposta

Após realizar todos os cálculos, concluímos que o vetor na base é dado por:

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Scja com
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Calcule todos os ideais maximais em e .