Nos ítens abaixo, o vetor w está escrito na base U. Reescreva-o na base V
(b) w=(1,2,3,1), U=(1,1,2,2),(2,2,1,1),(1,2,1,2),(1,0,1,0), V= (1,2,1,2),(2,1,2,1),(1,0,0,1),(0,1,1,0)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um vetor que está representado na base . A base é formada pelos vetores e queremos reescrevê-lo na base .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de mudança de base e combinação linear. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que w = c1 cdot u1 + c2 cdot u2 + c3 cdot u3 + c4 cdot u4 está na base . Isso quer dizer que pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja:
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar esses coeficientes. Substituindo os valores de 1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 1 + c4 cdot 1 2 = c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 2 + c4 cdot 0 3 = c1 cdot 2 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 + c4 cdot 1 1 = c1 cdot 2 + c2 cdot 1 + c3 cdot 2 + c4 cdot 0 e de :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, reorganizamos as equações:
c1 + 2c2 + c3 + c4 = 1 (1) c1 + 2c2 + 2c3 = 2 (2) 2c1 + c2 + c3 + c4 = 3 (3) 2c1 + c2 + 2c3 = 1 (4)
Subtraindo (1) de (2):
c3 = 1 (5)
Substituindo c1 + 2c2 + 2 = 2 implies c1 + 2c2 = 0 (6) em (2):
2c1 + c2 + 2 = 1 implies 2c1 + c2 = -1 (7)
Substituindo c1 + 2c2 = 0 (6) 2c1 + c2 = -1 (7) em (4):
2c1 + 4c2 = 0 (8)
Agora, temos:
(2c1 + 4c2) - (2c1 + c2) = 0 - (-1) 3c2 = 1 implies c2 = 13
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos (6) por 2:
c1 + 2 cdot 13 = 0 implies c1 = -23
Subtraindo (7) de (8):
-23 + 2 cdot 13 + 1 + c4 = 1 implies c4 = 13 - 1 = -23
Substituindo em (6):
Finalmente, substituindo em (1):

Passo 5

Agora que temos os coeficientes w = -23 cdot u1 + 13 cdot u2 + 1 cdot u3 - 23 cdot u4 , , , e , podemos expressar na base :

Passo 6

Agora, para reescrever ui = pi1v1 + pi2v2 + pi3v3 + pi4v4 na base , precisamos expressar os vetores de em termos de . Isso envolve encontrar uma matriz de transição que converta coordenadas de para .
Vamos montar a matriz de transição onde cada coluna é um vetor de expresso na base .
Ou seja, resolvemos para cada :
Resolvendo isso para todos os , obtemos a matriz .

Passo 7

Depois de encontrar a matriz de transição [w]V = P cdot [w]U , multiplicamos os coeficientes pela matriz para obter os novos coeficientes na base :
Isso nos dará os valores finais dos coeficientes na base .

Resposta

Após realizar todos os cálculos, concluímos que o vetor w = ( -13, 43, 13, 23 ) na base é dado por:

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