Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(b)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um vetor que está representado na base . A base é formada pelos vetores e queremos reescrevê-lo na base .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de mudança de base e combinação linear. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que está na base . Isso quer dizer que pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja:
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações para encontrar esses coeficientes. Substituindo os valores de e de :
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, reorganizamos as equações:
Agora que temos os coeficientes w = -23 cdot u1 + 13 cdot u2 + 1 cdot u3 - 23 cdot u4 , , , e , podemos expressar na base :
Passo 6
Agora, para reescrever ui = pi1v1 + pi2v2 + pi3v3 + pi4v4 na base , precisamos expressar os vetores de em termos de . Isso envolve encontrar uma matriz de transição que converta coordenadas de para .
Vamos montar a matriz de transição onde cada coluna é um vetor de expresso na base .
Ou seja, resolvemos para cada :
Resolvendo isso para todos os , obtemos a matriz .
Passo 7
Depois de encontrar a matriz de transição [w]V = P cdot [w]U , multiplicamos os coeficientes pela matriz para obter os novos coeficientes na base :
Isso nos dará os valores finais dos coeficientes na base .
Resposta
Após realizar todos os cálculos, concluímos que o vetor w = ( -13, 43, 13, 23 ) na base é dado por: