Seja um anel com 1. Se é um ideal de e um elemento inversível de tal que , prove que .

Passo 1

Beleza! Temos um problema de Álgebra, mais especificamente de Teoria dos Anéis. O enunciado nos diz que, dado um anel com identidade, e um ideal de , se existe um elemento invertível em que também está em , então precisamos provar que é igual a todo o anel . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal, o que significa um elemento ser invertível, e como esses conceitos interagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel com identidade. Um anel com identidade é uma estrutura algébrica que possui duas operações: adição e multiplicação, onde existe um elemento tal que para todo .

Passo 3

Agora, vamos definir o que é um ideal. Um ideal de um anel é um subconjunto de que é um subanel e tem a propriedade adicional de que, para qualquer elemento em e qualquer elemento em , tanto quanto estão em .

Passo 4

Um elemento em é invertível se existe outro elemento em tal que , onde é a identidade do anel.

Passo 5

Sabemos que é invertível e está em . Queremos mostrar que . Vamos usar a propriedade da inversibilidade de . Como e é um ideal, então para qualquer , temos que .

Passo 6

Como é invertível, existe tal que . Multiplicando por e depois por , temos:

Passo 7

Do passo anterior, sabemos que e . Como é um ideal, o produto também está em . Portanto, para qualquer .

Resposta

Conseguimos mostrar que qualquer elemento de está em , ou seja, .

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(b)