Seja
um anel com 1. Se
é um ideal de
e
um elemento inversível de
tal que
, prove que
.
Passo 1
Beleza! Temos um problema de Álgebra, mais especificamente de Teoria dos Anéis. O enunciado nos diz que, dado um anel
com identidade, e um ideal
de
, se existe um elemento invertível
em
que também está em
, então precisamos provar que
é igual a todo o anel
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal, o que significa um elemento ser invertível, e como esses conceitos interagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel com identidade. Um anel
com identidade é uma estrutura algébrica que possui duas operações: adição e multiplicação, onde existe um elemento
tal que
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos definir o que é um ideal. Um ideal
de um anel
é um subconjunto de
que é um subanel e tem a propriedade adicional de que, para qualquer elemento
em
e qualquer elemento
em
, tanto
quanto
estão em
.
Passo 4
Um elemento
em
é invertível se existe outro elemento
em
tal que
, onde
é a identidade do anel.
Passo 5
Sabemos que
é invertível e está em
. Queremos mostrar que
. Vamos usar a propriedade da inversibilidade de
. Como
e
é um ideal, então para qualquer
, temos que
.
Passo 6
Como
é invertível, existe
tal que
. Multiplicando
por
e depois por
, temos:
Passo 7
Do passo anterior, sabemos que
e
. Como
é um ideal, o produto
também está em
. Portanto,
para qualquer
.
Resposta
Conseguimos mostrar que qualquer elemento
de
está em
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Considere
um conjunto gerador de um espaço vetorial
.
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Se adicionarmos outro vetor
Calcule todos os ideais maximais em
e
.
Considere os vetores
Mostre que e
formam uma base para
.
Mostre que
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(b)
(b)