Calcule, para todos os pontos, o seguinte divergente:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o divergente de um campo vetorial dado por . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de divergente, que mede a “taxa de expansão” de um campo vetorial em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de divergente e coordenadas esféricas, já que o vetor sugere uma simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do divergente em coordenadas esféricas. O divergente de um campo vetorial em coordenadas esféricas é dado por:
No nosso caso, o campo vetorial é , o que significa que e .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do divergente ao nosso campo :
Simplificando, os termos envolvendo e desaparecem, ficando apenas:

Passo 4

Agora, vamos derivar:
Portanto,

Resposta

O divergente de para todos os pontos é zero.

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