Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(b) (S3, circ);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todos os subgrupos do grupo . Primeiro, o que é um subgrupo? É basicamente um conjunto menor dentro do grupo maior que também satisfaz as mesmas regras de operação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre teoria de grupos, especificamente sobre como identificar subgrupos dentro de um grupo como o , que é o grupo das permutações de 3 elementos.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é S3 = e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) . O grupo é chamado de grupo simétrico de ordem 3, e ele contém todas as permutações possíveis de três elementos. Ou seja, ele tem 6 elementos no total:
Aqui, é a permutação identidade (que não muda nada), as permutações como trocam dois elementos, e são ciclos que rotacionam os elementos.

Passo 3

Agora, vamos identificar os subgrupos. Por definição, qualquer subgrupo deve conter o elemento identidade e ser fechado sob a operação do grupo (ou seja, se você pegar dois elementos do subgrupo e combiná-los, o resultado também deve estar no subgrupo).
Primeiro, sempre temos pelo menos dois subgrupos triviais:
  1. O subgrupo trivial que contém apenas a identidade:
e
  1. O próprio grupo S3 = e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) :

Passo 4

Além desses, vamos procurar outros subgrupos que podem ter ordem 2 ou 3, já que pela Teoria de Lagrange, a ordem de um subgrupo deve dividir a ordem do grupo principal (que é 6 no caso de e, (1 2) , e, (1 3) , e, (2 3) ).
Subgrupos de ordem 2:
Estes subgrupos contêm a identidade e uma única troca (transposição). Existem três transposições em e, (1 2 3), (1 3 2) , então temos três subgrupos de ordem 2:
Cada um desses conjuntos forma um subgrupo porque, por exemplo, , mantendo a operação dentro do subgrupo.
Subgrupo de ordem 3:
Este subgrupo contém a identidade e os ciclos de 3 elementos. Há dois ciclos diferentes em :
Esse conjunto também é um subgrupo porque e , fechando a operação.

Resposta

Todos os subgrupos de são:
  1. O subgrupo trivial:
  2. Os subgrupos de ordem 2:
  3. O subgrupo de ordem 3:
  4. O próprio grupo

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