Sejam T1 e T2 as transformações lineares dadas a seguir, determine se T1 o T2 e T2 o T1 e verifique se os resultados são iguais.
(b) T1: R^2 R^2 é a rotação em torno da origem pelo ângulo theta1 e T2: R^2 R^2 é a rotação em torno da origem pelo ângulo theta2.

Passo 1

Vamos entender a questão: temos duas transformações lineares, e , que são rotações no plano em torno da origem pelos ângulos e , respectivamente. Precisamos descobrir se a composição é igual à composição e verificar se os resultados das duas composições são iguais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de matrizes de rotação e propriedades de composição de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é representada uma rotação no plano R(theta) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta . Uma rotação pelo ângulo em torno da origem pode ser descrita pela seguinte matriz de rotação:

Passo 3

A composição de duas transformações lineares corresponde à multiplicação das suas matrizes. Então, para encontrar T1 circ T2 = R(theta1) cdot R(theta2) = cos theta1 & -sin theta1 sin theta1 & cos theta1 cdot cos theta2 & -sin theta2 sin theta2 & cos theta2 , multiplicamos as matrizes de e :

Passo 4

Vamos multiplicar essas duas matrizes:
R(theta1) cdot R(theta2) = cos theta1 cos theta2 - sin theta1 sin theta2 & -cos theta1 sin theta2 - sin theta1 cos theta2 sin theta1 cos theta2 + cos theta1 sin theta2 & -sin theta1 sin theta2 + cos theta1 cos theta2

Passo 5

Agora, usando as fórmulas de adição de ângulos para seno e cosseno, percebemos que:
cos(theta1 + theta2) = cos theta1 cos theta2 - sin theta1 sin theta2
sin(theta1 + theta2) = sin theta1 cos theta2 + cos theta1 sin theta2
Assim, a matriz resultante é:
R(theta1) cdot R(theta2) = cos(theta1 + theta2) & -sin(theta1 + theta2) sin(theta1 + theta2) & cos(theta1 + theta2) = R(theta1 + theta2)

Passo 6

De maneira similar, se fizermos T2 circ T1 = R(theta2) cdot R(theta1) = R(theta2 + theta1) = R(theta1 + theta2) , teremos:

Passo 7

Como a soma dos ângulos é comutativa ( T1 circ T2 = T2 circ T1 ), concluímos que:

Resposta

Sim, é igual a quando e são rotações no plano . Ambas as composições resultam em uma rotação pela soma dos ângulos .

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