Sejam
e
as transformações lineares dadas a seguir, determine se
e
e verifique se os resultados são iguais.
(b)
é a rotação em torno da origem pelo ângulo
e
é a rotação em torno da origem pelo ângulo
.
(b)
Passo 1
Vamos entender a questão: temos duas transformações lineares,
e
, que são rotações no plano
em torno da origem pelos ângulos
e
, respectivamente. Precisamos descobrir se a composição
é igual à composição
e verificar se os resultados das duas composições são iguais. Para resolver isso, vamos usar o conceito de matrizes de rotação e propriedades de composição de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é representada uma rotação no plano
. Uma rotação pelo ângulo
em torno da origem pode ser descrita pela seguinte matriz de rotação:
Passo 3
A composição de duas transformações lineares corresponde à multiplicação das suas matrizes. Então, para encontrar
, multiplicamos as matrizes de
e
:
Passo 4
Vamos multiplicar essas duas matrizes:
Passo 5
Agora, usando as fórmulas de adição de ângulos para seno e cosseno, percebemos que:
Assim, a matriz resultante é:
Passo 6
De maneira similar, se fizermos
, teremos:
Passo 7
Como a soma dos ângulos é comutativa (
), concluímos que:
Resposta
Sim,
é igual a
quando
e
são rotações no plano
. Ambas as composições resultam em uma rotação pela soma dos ângulos
.
Exercícios relacionados
Prove que
.
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(b) ;
(b)
Escreva a equação reduzida da elipse, dados:
Considere o grupo linear geral
, onde
ou
.
(b) Encontre , isto é, encontre o centralizador do elemento
, para
.
(b) Encontre