Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
© 4-grupo de Klein.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é calcular todos os subgrupos do 4-grupo de Klein. Esse é um conceito da teoria dos grupos na matemática, especificamente na álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que são subgrupos e, mais especificamente, conhecer as características do 4-grupo de Klein.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto de elementos junto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo quatro propriedades básicas: fechamento, existência de elemento neutro, existência de elementos inversos e associatividade.
No caso do 4-grupo de Klein, estamos falando de um grupo com 4 elementos. Esse grupo é abeliano, ou seja, a operação é comutativa. Os elementos são geralmente representados como , onde é o elemento neutro, e são elementos de ordem 2 (ou seja, ).

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um subgrupo. Um subgrupo é simplesmente um subconjunto dos elementos do grupo original que também forma um grupo sob a mesma operação. Ou seja, ele deve satisfazer as quatro propriedades de grupo que mencionamos antes.
Para encontrar todos os subgrupos do 4-grupo de Klein, vamos identificar todos os conjuntos que contêm o elemento neutro e que fecham sob a operação do grupo.

Passo 4

Vamos listar os possíveis subgrupos:
  1. Subgrupo trivial: Contém apenas o elemento neutro . Todo grupo tem pelo menos esse subgrupo.
  2. Subgrupos de ordem 2: Como o 4-grupo de Klein tem três elementos de ordem 2 ( ), cada um desses elementos pode gerar um subgrupo de ordem 2 junto com o elemento neutro. Isso nos dá três subgrupos adicionais:
  3. O próprio grupo: O 4-grupo de Klein completo também é um subgrupo de si mesmo.

Passo 5

Vamos verificar se esses conjuntos realmente satisfazem as propriedades de grupo:
  • Fechamento: A operação entre quaisquer dois elementos do subgrupo resulta em um elemento que também está no subgrupo.
  • Elemento neutro: está presente em todos os subgrupos.
  • Inversos: Cada elemento é seu próprio inverso, já que .
  • Associatividade: Herdada do grupo original.
Todos esses conjuntos atendem a essas propriedades, confirmando que são subgrupos válidos.

Resposta

Os subgrupos do 4-grupo de Klein são:
  1. (subgrupo trivial)
  2. (o próprio grupo)

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