Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
© 4-grupo de Klein.
© 4-grupo de Klein.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é calcular todos os subgrupos do 4-grupo de Klein. Esse é um conceito da teoria dos grupos na matemática, especificamente na álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que são subgrupos e, mais especificamente, conhecer as características do 4-grupo de Klein.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto de elementos junto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, seguindo quatro propriedades básicas: fechamento, existência de elemento neutro, existência de elementos inversos e associatividade.
No caso do 4-grupo de Klein, estamos falando de um grupo com 4 elementos. Esse grupo é abeliano, ou seja, a operação é comutativa. Os elementos são geralmente representados como
, onde
é o elemento neutro, e
são elementos de ordem 2 (ou seja,
).
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um subgrupo. Um subgrupo é simplesmente um subconjunto dos elementos do grupo original que também forma um grupo sob a mesma operação. Ou seja, ele deve satisfazer as quatro propriedades de grupo que mencionamos antes.
Para encontrar todos os subgrupos do 4-grupo de Klein, vamos identificar todos os conjuntos que contêm o elemento neutro e que fecham sob a operação do grupo.
Passo 4
Vamos listar os possíveis subgrupos:
-
Subgrupo trivial: Contém apenas o elemento neutro
. Todo grupo tem pelo menos esse subgrupo. -
Subgrupos de ordem 2: Como o 4-grupo de Klein tem três elementos de ordem 2 (
), cada um desses elementos pode gerar um subgrupo de ordem 2 junto com o elemento neutro. Isso nos dá três subgrupos adicionais: -
-
O próprio grupo: O 4-grupo de Klein completo
também é um subgrupo de si mesmo.
Passo 5
Vamos verificar se esses conjuntos realmente satisfazem as propriedades de grupo:
- Fechamento: A operação entre quaisquer dois elementos do subgrupo resulta em um elemento que também está no subgrupo.
- Elemento neutro:
está presente em todos os subgrupos. - Inversos: Cada elemento é seu próprio inverso, já que
. - Associatividade: Herdada do grupo original.
Todos esses conjuntos atendem a essas propriedades, confirmando que são subgrupos válidos.
Resposta
Os subgrupos do 4-grupo de Klein são:
-
(subgrupo trivial) -
-
-
-
(o próprio grupo)
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(a) Construa a tábua de operações de
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
l) .
l)
Determine todas as classes laterais à esquerda dos respectivos subgrupos, isto é, os conjuntos quocientes
(observe qual é a operação no grupo):
(e) em
, onde
e
.
(e)
Escreva a equação reduzida da elipse, dados: