Determine todas as classes laterais à esquerda dos respectivos subgrupos, isto é, os conjuntos quocientes G / H (observe qual é a operação no grupo):
(e) H=e, f em G=S3, onde e=(lll1 & 2 & 3 1 & 2 & 3) e f=(lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos todas as classes laterais à esquerda do subgrupo no grupo . Aqui, é o grupo das permutações de três elementos, e nosso objetivo é encontrar os conjuntos quocientes . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre grupos, subgrupos e classes laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que H = e, f = (lll1 & 2 & 3 1 & 2 & 3), (lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3) tem 6 elementos, que são todas as possíveis permutações dos números 1, 2 e 3. O subgrupo é formado pelos elementos (a permutação identidade, que não muda nada) e (que troca 1 e 2). Ou seja:

Passo 3

Agora, para encontrar as classes laterais à esquerda, usamos a definição:
gH = gh | h in H
Isso significa que para cada elemento em , multiplicamos por cada elemento de para formar uma nova classe lateral.

Passo 4

Vamos listar todos os elementos de S3 = e, f, g, h, i, j :
g = (lll1 & 2 & 3 1 & 3 & 2), h = (lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2), i = (lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1), j = (lll1 & 2 & 3 3 & 2 & 1)
onde:

Passo 5

Vamos agora formar as classes laterais à esquerda multiplicando cada elemento de eH = e cdot e, e cdot f = e, f por cada elemento de gH = g cdot e, g cdot f = g, gf :
  1. Classe Lateral de gf = (lll1 & 2 & 3 1 & 3 & 2) cdot (lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3) = (lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1) = i :
hH = h cdot e, h cdot f = h, hf
  1. Classe Lateral de hf = (lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2) cdot (lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3) = (lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1) = i :
jH = j cdot e, j cdot f = j, jf
Calculando jf = (lll1 & 2 & 3 3 & 2 & 1) cdot (lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3) = (lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1) = i :
Então, .
  1. Classe Lateral de :
Calculando :
No entanto, já temos na classe , então essa classe lateral não é nova.
  1. Classe Lateral de :
Calculando :
Novamente, já temos na classe , então essa classe lateral também não é nova.

Passo 6

Por fim, observamos que as classes laterais distintas são:
H = e, f , gH = g, i , hH = h, j

Resposta

As classes laterais à esquerda de H = e, f , gH = g, i , hH = h, j em são:

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