Determine todas as classes laterais à esquerda dos respectivos subgrupos, isto é, os conjuntos quocientes
(observe qual é a operação no grupo):
(e)
em
, onde
e
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos todas as classes laterais à esquerda do subgrupo
no grupo
. Aqui,
é o grupo das permutações de três elementos, e nosso objetivo é encontrar os conjuntos quocientes
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre grupos, subgrupos e classes laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que
tem 6 elementos, que são todas as possíveis permutações dos números 1, 2 e 3. O subgrupo
é formado pelos elementos
(a permutação identidade, que não muda nada) e
(que troca 1 e 2). Ou seja:
Passo 3
Agora, para encontrar as classes laterais à esquerda, usamos a definição:
Isso significa que para cada elemento
em
, multiplicamos
por cada elemento de
para formar uma nova classe lateral.
Passo 4
Vamos listar todos os elementos de
:
onde:
Passo 5
Vamos agora formar as classes laterais à esquerda multiplicando cada elemento de
por cada elemento de
:
- Classe Lateral de
:
- Classe Lateral de
:
Calculando
:
Então,
.
- Classe Lateral de
:
Calculando
:
No entanto, já temos
na classe
, então essa classe lateral não é nova.
- Classe Lateral de
:
Calculando
:
Novamente, já temos
na classe
, então essa classe lateral também não é nova.
Passo 6
Por fim, observamos que as classes laterais distintas são:
Resposta
As classes laterais à esquerda de
em
são:
Exercícios relacionados
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
© 4-grupo de Klein.
© 4-grupo de Klein.
(a) Construa a tábua de operações de
.
Escreva a equação reduzida da elipse, dados:
Prove que todo grupo cíclico é abeliano.