(a) Construa a tábua de operações de S3.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para construirmos a tábua de operações do grupo S3. O conteúdo aqui envolve teoria dos grupos, especificamente analisando as permutations de 3 elementos. Para resolver isso, vamos precisar identificar todos os elementos de S3 e ver como eles se combinam entre si usando a operação de composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é S3. O grupo S3 é o grupo simétrico de permutações de 3 elementos, ou seja, é o conjunto de todas as maneiras de rearranjar três objetos distintos. Como temos 3 elementos, existem 3! = 6 permutações diferentes. Vamos listar esses elementos:
  1. e (a identidade, que não muda nada)
  2. (1,2) (troca o primeiro e o segundo elementos)
  3. (1,3) (troca o primeiro e o terceiro elementos)
  4. (2,3) (troca o segundo e o terceiro elementos)
  5. (1,2,3) (permuta em ciclo: 1 para 2, 2 para 3, 3 para 1)
  6. (1,3,2) (permuta em ciclo inverso: 1 para 3, 3 para 2, 2 para 1)

Passo 3

Agora, vamos construir a tábua de operações, que é basicamente uma tabela que mostra o resultado da composição de qualquer dois elementos do grupo. A operação aqui é a composição de permutações, ou seja, aplicar uma permutação após a outra.
Para facilitar, vamos organizar os elementos listados anteriormente tanto nas linhas quanto nas colunas da tabela. Cada célula da tabela indicará o resultado de compor a permutação da linha com a permutação da coluna.

Passo 4

Vamos preencher a tabela passo a passo. Lembre-se que a composição de permutações não é comutativa, ou seja, ab pode não ser igual a ba. Então, a ordem importa!
Aqui está a tábua de operações de S3:
circ e (1,2) (1,3) (2,3) (1,2,3) (1,3,2)
e e (1,2) (1,3) (2,3) (1,2,3) (1,3,2)
(1,2) (1,2) e (1,2,3) (1,3,2) (2,3) (1,3)
(1,3) (1,3) (1,3,2) e (1,2,3) (2,3) (1,2)
(2,3) (2,3) (1,3,2) (1,2,3) e (1,2) (1,3)
(1,2,3) (1,2,3) (2,3) (1,3) (1,2) (1,3,2) e
(1,3,2) (1,3,2) (1,2) (2,3) (1,3) e (1,2,3)

Resposta

A tábua de operações de S3 está apresentada acima. Cada célula mostra o resultado da composição das permutações correspondentes da linha com a coluna.

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© 4-grupo de Klein.
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(e) H=e, f em G=S3, onde e=(lll1 & 2 & 3 1 & 2 & 3) e f=(lll1 & 2 & 3 2 & 1 & 3).