(a) Construa a tábua de operações de
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para construirmos a tábua de operações do grupo
. O conteúdo aqui envolve teoria dos grupos, especificamente analisando as permutations de 3 elementos. Para resolver isso, vamos precisar identificar todos os elementos de
e ver como eles se combinam entre si usando a operação de composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O grupo
é o grupo simétrico de permutações de 3 elementos, ou seja, é o conjunto de todas as maneiras de rearranjar três objetos distintos. Como temos 3 elementos, existem
permutações diferentes. Vamos listar esses elementos:
-
(a identidade, que não muda nada) -
(troca o primeiro e o segundo elementos) -
(troca o primeiro e o terceiro elementos) -
(troca o segundo e o terceiro elementos) -
(permuta em ciclo: 1 para 2, 2 para 3, 3 para 1) -
(permuta em ciclo inverso: 1 para 3, 3 para 2, 2 para 1)
Passo 3
Agora, vamos construir a tábua de operações, que é basicamente uma tabela que mostra o resultado da composição de qualquer dois elementos do grupo. A operação aqui é a composição de permutações, ou seja, aplicar uma permutação após a outra.
Para facilitar, vamos organizar os elementos listados anteriormente tanto nas linhas quanto nas colunas da tabela. Cada célula da tabela indicará o resultado de compor a permutação da linha com a permutação da coluna.
Passo 4
Vamos preencher a tabela passo a passo. Lembre-se que a composição de permutações não é comutativa, ou seja,
pode não ser igual a
. Então, a ordem importa!
Aqui está a tábua de operações de
:
|
|
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Resposta
A tábua de operações de
está apresentada acima. Cada célula mostra o resultado da composição das permutações correspondentes da linha com a coluna.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
l) .
l)
Seja
um grupo e
. Prove que:
(a) .
(a)
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
© 4-grupo de Klein.
© 4-grupo de Klein.
Determine todas as classes laterais à esquerda dos respectivos subgrupos, isto é, os conjuntos quocientes
(observe qual é a operação no grupo):
(e) em
, onde
e
.
(e)