Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
l)
.
l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais de polinômios de grau até 2. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é o polinômio
. Aqui,
,
e
. Substituindo na condição
, temos:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios quaisquer de
e somarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam:
com
e
.
A soma deles é:
Vamos ver se a condição
é satisfeita:
Então, a soma
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos um polinômio de
e multiplicarmos por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
.
Seja:
Então,
.
Multiplicando por
:
Vamos checar a condição:
Assim,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Seja
um grupo e
. Prove que:
(a) .
(a)
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
k) em que
é uma matriz dada.
k)
(a) Construa a tábua de operações de
.
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
© 4-grupo de Klein.
© 4-grupo de Klein.