Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
l) W=a x^2+b x+c in P2(R) mid a+b+c=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais de polinômios de grau até 2. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em 0 + 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é o polinômio . Aqui, , e . Substituindo na condição , temos:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se p(x) = a x^2 + b x + c e q(x) = a' x^2 + b' x + c' é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios quaisquer de p(x) + q(x) = (a + a')x^2 + (b + b')x + (c + c') e somarmos, o resultado também deve estar em (a + b + c) + (a' + b' + c') = 0 + 0 = 0 .
Sejam:
com e .
A soma deles é:
Vamos ver se a condição é satisfeita:
Então, a soma também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se p(x) = a x^2 + b x + c in W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos um polinômio de k p(x) = (k a)x^2 + (k b)x + (k c) e multiplicarmos por qualquer número real k a + k b + k c = k(a + b + c) = k cdot 0 = 0 , o resultado também deve estar em .
Seja:
Então, .
Multiplicando por :
Vamos checar a condição:
Assim, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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Seja G um grupo e x in G. Prove que:
(a) x^m cdot x^n=x^m+n, forall m, n in Z.
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
k) W=A in Mn(R) mid A B=B A em que B é uma matriz dada.
(a) Construa a tábua de operações de S3.
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
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