Determine todos os elementos
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os elementos
no grupo
que, quando aplicados dois vezes (
), resultam no elemento neutro
, mas
não pode ser
mesmo. Aqui, estamos trabalhando com Grupos, um conceito da Álgebra que estuda conjuntos com uma operação que combina dois elementos para formar outro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O
é o grupo simétrico de todas as permutações de 3 elementos. Em outras palavras, ele contém todas as maneiras de reorganizar três objetos. Existem 6 elementos nesse grupo:
-
(a permutação identidade, que não muda nada), -
, , (as transposições, que trocam dois elementos), -
e (as ciclos de 3 elementos).
Passo 3
Agora, vamos pensar no que significa
. Isso quer dizer que aplicar a permutação
duas vezes nos leva de volta à situação inicial (a identidade). Além disso,
, então estamos procurando por elementos que não são a identidade, mas que, quando aplicados duas vezes, “desfazem” a permuta��ão.
Passo 4
Vamos analisar os elementos de
:
-
: Não serve porque tem que ser diferente de . -
, , : Essas são transposições que trocam dois elementos. Se aplicarmos uma transposição duas vezes, voltamos à posição original. Por exemplo, . -
, : Esses são ciclos de 3 elementos. Se aplicarmos uma dessas permutações duas vezes, não chegamos em . Por exemplo, , que não é .
Resposta
Os elementos de
que satisfazem
e
são:
Exercícios relacionados
Determine
tais que:
(a) .
(a)
Obtenha as equações das hipérboles, dados:
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(a) ;
(a)
Mostre que o grupo diedral
é um subgrupo do grupo simétrico
.