Determine todos os elementos f in S3 tais que
f^2=e, f neq e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todos os elementos no grupo que, quando aplicados dois vezes ( ), resultam no elemento neutro , mas não pode ser mesmo. Aqui, estamos trabalhando com Grupos, um conceito da Álgebra que estuda conjuntos com uma operação que combina dois elementos para formar outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O é o grupo simétrico de todas as permutações de 3 elementos. Em outras palavras, ele contém todas as maneiras de reorganizar três objetos. Existem 6 elementos nesse grupo:
  • (a permutação identidade, que não muda nada),
  • , , (as transposições, que trocam dois elementos),
  • e (as ciclos de 3 elementos).

Passo 3

Agora, vamos pensar no que significa . Isso quer dizer que aplicar a permutação duas vezes nos leva de volta à situação inicial (a identidade). Além disso, , então estamos procurando por elementos que não são a identidade, mas que, quando aplicados duas vezes, “desfazem” a permuta��ão.

Passo 4

Vamos analisar os elementos de :
  • : Não serve porque tem que ser diferente de .
  • , , : Essas são transposições que trocam dois elementos. Se aplicarmos uma transposição duas vezes, voltamos à posição original. Por exemplo, .
  • , : Esses são ciclos de 3 elementos. Se aplicarmos uma dessas permutações duas vezes, não chegamos em . Por exemplo, , que não é .

Resposta

Os elementos de (12),, (13),, (23) que satisfazem e são:

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(a) (Z2 times Z2,+);
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