Determine f, g in S3 tais que:
(a) (f circ g)^3 neq f^3 circ g^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar duas permutações, chamadas e , que estão no grupo (que é o conjunto de todas as permutações possíveis de 3 elementos). A gente precisa que, quando a gente fizer a composição dessas permutações e elevar isso ao cubo, não seja igual a fazer o cubo de cada permutação primeiro e depois compor os resultados. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as permutações no e como calcular compostos e potências dessas permutações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tem 6 permutações: a identidade , duas transposições (que trocam dois elementos) e três ciclos de três elementos. As transposições têm ordem 2 (ou seja, se você aplica duas vezes, volta para a identidade) e os ciclos de três elementos têm ordem 3 (três aplicações trazem de volta à identidade).

Passo 3

Vamos escolher duas permutações específicas para e . Vamos pegar como uma transposição e como um ciclo de três elementos. Por exemplo:
  • (troca o 1 com o 2)
  • (envia 1 para 2, 2 para 3 e 3 para 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular (isto é, primeiro aplicar e depois ):
  • Aplicando em 1: vai para 2
  • Depois aplicando : 2 vai para 1
  • Então, envia 1 para 1
  • Fazendo o mesmo para 2: envia 2 para 3, e não altera o 3
  • Para 3: envia 3 para 1, e envia 1 para 2
  • Então,

Passo 5

Vamos calcular :
  • Como , que é uma transposição (ordem 2), elevando ao cubo:
  • porque e
Agora, vamos calcular e :
  • , então e
  • , e como é um ciclo de ordem 3,
Então,

Passo 6

Agora, vamos comparar os resultados:
Como , encontramos um par de permutações que satisfazem a condição dada.

Resposta

Um exemplo que funciona é e . Nesse caso, .

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(a) Prove que (G, cdot) é um grupo;
Determine todos os elementos f in S3 tais que
f^2=e, f neq e
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(a) (Z2 times Z2,+);