Determine
tais que:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar duas permutações, chamadas
e
, que estão no grupo
(que é o conjunto de todas as permutações possíveis de 3 elementos). A gente precisa que, quando a gente fizer a composição dessas permutações e elevar isso ao cubo, não seja igual a fazer o cubo de cada permutação primeiro e depois compor os resultados. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as permutações no
e como calcular compostos e potências dessas permutações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
tem 6 permutações: a identidade
, duas transposições (que trocam dois elementos) e três ciclos de três elementos. As transposições têm ordem 2 (ou seja, se você aplica duas vezes, volta para a identidade) e os ciclos de três elementos têm ordem 3 (três aplicações trazem de volta à identidade).
Passo 3
Vamos escolher duas permutações específicas para
e
. Vamos pegar
como uma transposição e
como um ciclo de três elementos. Por exemplo:
-
(troca o 1 com o 2) -
(envia 1 para 2, 2 para 3 e 3 para 1)
Passo 4
Agora, vamos calcular
(isto é, primeiro aplicar
e depois
):
- Aplicando
em 1: vai para 2 - Depois aplicando
: 2 vai para 1 - Então,
envia 1 para 1 - Fazendo o mesmo para 2:
envia 2 para 3, e não altera o 3 - Para 3:
envia 3 para 1, e envia 1 para 2 - Então,
Passo 5
Vamos calcular
:
- Como
, que é uma transposição (ordem 2), elevando ao cubo: -
porque e
Agora, vamos calcular
e
:
-
, então e -
, e como é um ciclo de ordem 3,
Então,
Passo 6
Agora, vamos comparar os resultados:
Como
, encontramos um par de permutações que satisfazem a condição dada.
Resposta
Um exemplo que funciona é
e
. Nesse caso,
.
Exercícios relacionados
Obtenha as equações das hipérboles, dados:
Considere o conjunto
munido da operação definida por
.
(a) Prove que é um grupo;
(a) Prove que
Determine todos os elementos
tais que
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(a) ;
(a)