Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de potências complexas. A gente precisa calcular todos os valores de
e identificar o valor principal. Para isso, vamos usar a teoria de números complexos e a fórmula de potência para números complexos. Vamos precisar entender a forma polar dos números e como aplicar a exponenciação nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o número complexo
na forma exponencial. Sabemos que
, que é a forma de Euler. No nosso caso,
pode ser interpretado como
, então
.
Passo 3
Agora, queremos calcular
. Para elevar uma potência exponencial a outra potência, multiplicamos os expoentes. Então temos:
Passo 4
Mas isso não é tudo! Em números complexos, quando lidamos com potências, existem múltiplos valores possíveis devido à periodicidade das funções trigonométricas. A constante
entra aqui porque
para qualquer inteiro
. Então, a forma geral das potências complexas será:
onde
é qualquer número inteiro (
).
Passo 5
Agora, vamos identificar o valor principal. O valor principal é aquele que corresponde ao
. Então:
Resposta
Todos os valores de
são dados por
, onde
é qualquer inteiro. O valor principal é
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 2 a 7, calcular a integral indefinida.
Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão:
Expresse o valor da função em termos de
:
;
Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto: