Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal: (e * i)^(raiz(2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de potências complexas. A gente precisa calcular todos os valores de e identificar o valor principal. Para isso, vamos usar a teoria de números complexos e a fórmula de potência para números complexos. Vamos precisar entender a forma polar dos números e como aplicar a exponenciação nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número complexo na forma exponencial. Sabemos que , que é a forma de Euler. No nosso caso, pode ser interpretado como , então .

Passo 3

Agora, queremos calcular . Para elevar uma potência exponencial a outra potência, multiplicamos os expoentes. Então temos:

Passo 4

Mas isso não é tudo! Em números complexos, quando lidamos com potências, existem múltiplos valores possíveis devido à periodicidade das funções trigonométricas. A constante entra aqui porque para qualquer inteiro . Então, a forma geral das potências complexas será:
onde é qualquer número inteiro ( ).

Passo 5

Agora, vamos identificar o valor principal. O valor principal é aquele que corresponde ao . Então:

Resposta

Todos os valores de são dados por , onde é qualquer inteiro. O valor principal é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 2 a 7, calcular a integral indefinida.
integral x raizx+1 d x
Calcule todos os valores de z que satisfazem a expressão: e^z = 4 i
Expresse o valor da função em termos de a + i b: cos(2 - 4i);
Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto: f(z) = cos(i * e^z)