Expresse o valor da função em termos de
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expressar o valor da função
em termos de
. Isso envolve trabalhar com funções trigonométricas de números complexos. Para isso, vamos precisar entender como calcular o cosseno de um número complexo usando as identidades trigonométricas e as funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No nosso caso, queremos encontrar
e
tal que:
Passo 3
Para calcular o cosseno de um número complexo, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é a parte real e
é a parte imaginária do número complexo. No nosso exercício,
e
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na fórmula:
Passo 5
Sabemos que as funções hiperbólicas têm as seguintes propriedades:
Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando:
Passo 6
Agora, podemos identificar as partes real e imaginária:
Resposta
Portanto, a expressão de
em termos de
é:
Onde:
Exercícios relacionados
Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:
Nos exercícios 2 a 7, calcular a integral indefinida.
Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto:
Seja
definido ao longo do arco em que
, indo de
até
e de uma reta que vai de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta