Expresse o valor da função em termos de a + i b: cos(2 - 4i);

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expressar o valor da função em termos de . Isso envolve trabalhar com funções trigonométricas de números complexos. Para isso, vamos precisar entender como calcular o cosseno de um número complexo usando as identidades trigonométricas e as funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. No nosso caso, queremos encontrar e tal que:

Passo 3

Para calcular o cosseno de um número complexo, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária do número complexo. No nosso exercício, e .

Passo 4

Vamos substituir e na fórmula:

Passo 5

Sabemos que as funções hiperbólicas têm as seguintes propriedades:
Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando:

Passo 6

Agora, podemos identificar as partes real e imaginária:

Resposta

Portanto, a expressão de em termos de é:
Onde:

Exercícios relacionados

Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal: (e * i)^(raiz(2))
Nos exercícios 2 a 7, calcular a integral indefinida.
integral x raizx+1 d x
Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto: f(z) = cos(i * e^z)
Seja C definido ao longo do arco em que |z|=1, indo de z=1 até z=i e de uma reta que vai de z=i até z=-1. Calcule a integral integralC Im(z-i) d z. Justifique sua resposta