Nos exercícios 2 a 7, calcular a integral indefinida.
integral x raizx+1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral x raizx+1 , dx. Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir u = x + 1. Isso vai facilitar o cálculo porque a expressão raizx+1 ficará mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x. Se u = x + 1, então dudx = 1. Isso significa que du = dx.

Passo 4

Precisamos também expressar x em termos de u para substituir na integral. Como u = x + 1, podemos rearranjar para obter x = u - 1.

Passo 5

Substituímos x e dx na integral original usando as relações que encontramos:
integral x raizx+1 , dx = integral (u - 1) raizu , du

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que raizu = u^1/2, então:
integral (u - 1) u^1/2 , du = integral (u^3/2 - u^1/2) , du

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Portanto, a integral fica:
25 u^5/2 - 23 u^3/2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituímos u de volta por x + 1 para voltar à variável original:
25 (x + 1)^5/2 - 23 (x + 1)^3/2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
25 (x + 1)^5/2 - 23 (x + 1)^3/2 + C

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