Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função complexa
. O nosso objetivo é identificar qual regra de derivação a gente vai usar para essa função, descobrir em que domínio ela é derivável e escolher um ponto legal para calcular o valor da derivada nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, pra derivar essa função, vamos precisar entender que ela é uma composição de funções. Temos a função cosseno, dentro da qual está
. Então, vamos usar a Regra da Cadeia, que é perfeita pra quando a gente tem uma função dentro da outra.
Passo 3
A regra da cadeia diz que para derivar uma função composta
, a derivada é
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas dessas funções separadamente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que a derivada de é e o é uma constante.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão. Podemos reescrever como:
Isso nos dá a derivada geral da função.
Passo 7
Quanto ao domínio em que a função é derivável, precisamos lembrar que as funções exponenciais e trigonométricas são inteiramente diferenciáveis no plano complexo. Então,
é derivável para todo
no conjunto dos números complexos, ou seja,
.
Passo 8
Agora, vamos escolher um ponto para calcular o valor da derivada. Um ponto legal seria
, porque simplifica os cálculos e é fácil de trabalhar com exponenciais e funções trigonométricas nesse ponto.
Passo 9
Vamos calcular
:
Sabemos que
, então:
Passo 10
Sabemos que
pode ser expresso em termos de funções hiperbólicas:
Portanto:
Já que
.
Resposta
A derivada da função
é
. A função é derivável para todo número complexo
. Calculando no ponto
, temos
.
Exercícios relacionados
Expresse o valor da função em termos de
:
;
Calcule todos os valores das potencias complexas abaixo. Identifique o valor principal:
Seja
definido ao longo do arco em que
, indo de
até
e de uma reta que vai de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
: