Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto: f(z) = cos(i * e^z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função complexa . O nosso objetivo é identificar qual regra de derivação a gente vai usar para essa função, descobrir em que domínio ela é derivável e escolher um ponto legal para calcular o valor da derivada nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, pra derivar essa função, vamos precisar entender que ela é uma composição de funções. Temos a função cosseno, dentro da qual está . Então, vamos usar a Regra da Cadeia, que é perfeita pra quando a gente tem uma função dentro da outra.

Passo 3

A regra da cadeia diz que para derivar uma função composta , a derivada é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas dessas funções separadamente:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que a derivada de é e o é uma constante.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão. Podemos reescrever como:
Isso nos dá a derivada geral da função.

Passo 7

Quanto ao domínio em que a função é derivável, precisamos lembrar que as funções exponenciais e trigonométricas são inteiramente diferenciáveis no plano complexo. Então, é derivável para todo no conjunto dos números complexos, ou seja, .

Passo 8

Agora, vamos escolher um ponto para calcular o valor da derivada. Um ponto legal seria , porque simplifica os cálculos e é fácil de trabalhar com exponenciais e funções trigonométricas nesse ponto.

Passo 9

Vamos calcular :
Sabemos que , então:

Passo 10

Sabemos que pode ser expresso em termos de funções hiperbólicas:
Portanto:
Já que .

Resposta

A derivada da função é . A função é derivável para todo número complexo . Calculando no ponto , temos .

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