Calcule todos os valores de z que satisfazem a expressão: e^z = 4 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores de que satisfazem a equação . Aqui, estamos lidando com números complexos e usando conceitos de exponenciais e logaritmos complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar números complexos em forma polar e aplicar o logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar: , onde é o módulo (ou valor absoluto) e é o argumento (ou ângulo). No nosso caso, .

Passo 3

Calculamos o módulo de . O módulo é a distância do número até a origem no plano complexo, então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento de . O argumento é o ângulo que o número faz com o eixo real positivo. Como está no eixo imaginário positivo, temos:

Passo 5

A equação original é . Para resolver para , usamos o logaritmo complexo. Sabemos que se , então:
onde é qualquer inteiro, porque o argumento pode variar de a infinitas vezes.

Passo 6

Substituindo e na fórmula:
onde é qualquer inteiro.

Resposta

Todos os valores de que satisfazem a equação são:
onde é qualquer número inteiro.

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