Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação
. Aqui, estamos lidando com números complexos e usando conceitos de exponenciais e logaritmos complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar números complexos em forma polar e aplicar o logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar:
, onde
é o módulo (ou valor absoluto) e
é o argumento (ou ângulo). No nosso caso,
.
Passo 3
Calculamos o módulo de
. O módulo
é a distância do número até a origem no plano complexo, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
de
. O argumento é o ângulo que o número faz com o eixo real positivo. Como
está no eixo imaginário positivo, temos:
Passo 5
A equação original é
. Para resolver para
, usamos o logaritmo complexo. Sabemos que se
, então:
onde
é qualquer inteiro, porque o argumento pode variar de
a
infinitas vezes.
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula:
onde
é qualquer inteiro.
Resposta
Todos os valores de
que satisfazem a equação são:
onde
é qualquer número inteiro.
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