1. $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) ; \
    y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
    h(t)=
    \end{aligned}
$$

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
com as condições iniciais e . A função é definida por:
á
Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação, porque ela ajuda muito quando a função não é constante, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial no domínio do tempo para o domínio de , tornando mais fácil resolver para , que é a transformada de .
Aplicando a Transformada de Laplace:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas:
Substituindo as condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver para :
Agora, precisamos encontrar . Como é uma função que vale 1 entre e , podemos expressá-la usando a função degrau de Heaviside:

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace na expressão de :
Substituindo de volta em :

Passo 6

Agora, vamos simplificar e encontrar a Transformada Inversa para obter . Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
aplicando isso, temos:

Passo 7

Para a segunda parte, aplicamos a propriedade de deslocamento na Transformada de Laplace:
Aplicando isso para e :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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