- $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=h(t) ; \
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
h(t)=
\end{aligned}
$$
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 ; \
h(t)=
\end{aligned}
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
com as condições iniciais
e
. A função
é definida por:
Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação, porque ela ajuda muito quando a função não é constante, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial no domínio do tempo para o domínio de
, tornando mais fácil resolver para
, que é a transformada de
.
Aplicando a Transformada de Laplace:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Agora, precisamos encontrar
. Como
é uma função que vale 1 entre
e
, podemos expressá-la usando a função degrau de Heaviside:
Passo 5
Aplicando a Transformada de Laplace na expressão de
:
Substituindo de volta em
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar
e encontrar a Transformada Inversa para obter
. Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
aplicando isso, temos:
Passo 7
Para a segunda parte, aplicamos a propriedade de deslocamento na Transformada de Laplace:
Aplicando isso para
e
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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que satisfazem a expressão:
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seja o valor principal da potência complexa no domínio
. Calcule o valor da derivada da função no ponto indicado: